Questo blog è una specie di diario di lavoro che riporta brevi annotazioni riguardanti quello su cui stiamo lavorando, quel che stiamo preparando, siti e video interessanti che abbiamo trovato, magari cercando altro.
Sì, lo sapevo che con una serie di Fourier si può riprodurre un segnale di forma qualsiasi ma non avevo mai pensato a quanto fosse estesa questa possibilità: il video qui sotto è illuminante
Matt Parker esplora forme meno spettacolari, le figure di Lissajous, ma in modo più approfondito e mostrando come realizzarle con un dispositivo fisico:
Nella descrizione del video ci sono indicazioni su dove scaricare i fogli di calcolo che ha usato e persino che tipo di piattaforma rotante ha utilizzato.
In GeoGebra ci sono tante app sulle figure di Lissajous, per esempio Frazioni in movimento o Parker Near-missajous curve.
E' facile associare il ritmo alla musica, immediato associarlo alle percussioni. Però a volte è difficile capirlo bene e/o rappresentarlo.
Per esempio, qui gli Stomp usano palloni da basket per "suonare".
Capisco che più ritmi si sovrappongono, ma non riesco bene a separarli.
Clayton Cameron ci spiega un legame fra aritmetica e ritmo, ma seguirlo richiede impegno.
Esploriamo un po' la faccenda.
Proviamo a immaginare un ritmo semplice, per esempio battendo le mani fra loro o sul tavolo. Proviamo a "scriverlo", a rappresentarlo in modo che qualcun altro possa rifarlo.
Come abbiamo fatto? Che simboli abbiamo usato? Siamo sicuri che tutti potranno interpretarli correttamente?
Due sequenze uguali che si ripetono e periodicamente vengono sfasate l'una rispetto all'altra.
Il compositore ci mostra altro esempio di rappresentazione: Steve Reich - Clapping Music (Scrolling)
So che ci sono modi classici per rappresentare un ritmo, per esempio
però mi lasciava scontento il fatto che una sequenza che si ripete sia rappresentata in una forma lineare.
John Varney ci suggerisce un modo diverso, interessante ed efficace per rappresentare un ritmo.
Nel laboratorio di matematica chiedo ai partecipanti di trascrivere nella forma indicata da Varney il ritmo che hanno "scritto" prima. Usiamo un'asta rotante come lancetta.
Chiedo ai partecipanti di usarlo un po', magari suggerisce come articolare il ritmo iniziale.
L'asta è attaccata a un motore Lego; Fabio ha realizzato le preziose scatole lignee che contengono il tutto (motore e batteria). I due cavetti terminano con morsetti a coccodrillo: per attivare il motore si collegano i due morsetti.
Dopo che i partecipanti hanno preso confidenza con il dispositivo e il tipo di rappresentazione, faccio ascoltare i due brani seguenti per confrontare i ritmi:
Per quanto di genere molto diverso, hanno lo stesso ritmo. La differenza sta nella velocità del ritmo, nel suo bpm (beat per minute).
Come possiamo ottenere una velocità diversa con la nostra asta rotante, senza aumentare la velocità di rotazione del motore? Cioè, come possiamo modificare la rappresentazione per ottenere p.es. una velocità doppia? o metà?
Una rappresentazione circolare dei ritmi viene usata nella musica tradizionale eseguita dalle orchestre Gamelan dell'Isola di Bali, vedi Marcia Ascher, Etnomatematica, Bollati Boringhieri, cap.3-Cicli temporali
Sto preparando un percorso nuovo per il laboratorio di matematica e sono andato a riguardare gli automi cellulari, che potrebbero prestarsi ad essere sperimentati dai visitatori.
Ho incontrato questa app: La parabola dei poligoni, che mostra un esempio di come scelte apparentemente innocue possano avere effetti inaspettati e inquietanti.
Una delle realizzatrici è l'ottima Vi Hart, che tanti video di matematica ha prodotto.
Trasformiamoci in falchi che puntano la loro preda. Il falco veleggia e deve mantenere costante l'assetto di volo. Ruotare la testa altera l'assetto, quindi cerca di tenerla ferma. Gli occhi sono a lato della testa. Quando punta la preda la tiene costantemente nella stessa direzione di vista.
Ci serve uno specchietto su cui disegniamo un segmento verticale. In effetti abbiamo semplicemente messo un elastico a cavallo dello specchietto.
Lo specchietto con l'elastico ci fa da mirino.
Uno stativo rappresenta la posizione della nostra preda.
Teniamo davanti al volto lo specchietto, le braccia aderenti al torace.
Ruotiamoci leggermente finchè l'immagine dello stativo che vediamo nello specchietto coincide con l'elastico. Teniamo sempre le braccia aderenti al torace.
Facciamo un piccolo passo nella direzione dell'immagine dello stativo; dopo il passo immagine ed elastico non coincidono più, ruotiamoci fino a farli coincidere di nuovo, facciamo un nuovo passo e così via.
La sequenza dei passi disegna una curva molto simile a una spirale logaritmica.
Anche molti insetti agiscono in modo simile. Volano tenendo costante l'angolo con la direzione del sole o della luna: in questo modo viaggiano in linea retta. Ma se la fonte luminosa è una lampada allora volano a spirale contro la lampada.
(vedi Logarithmic spiral, su wikipedia).
Le immagini qui sopra mostrano che abbiamo ottenuto una spirale che ci porta verso la preda. Se cambiamo l'angolo che lo specchio forma con il nostro volto potremo ottenere una spirale che si apre, cioè ci allontana dallo stativo.
Mercoledì 14 marzo è il giorno del pi greco (π), o, meglio, è il Pi Day: l'uso dell'inglese è d'obbligo, gli anglosassoni scrivono la data mettendo prima il mese e poi il giorno, quindi il 14 marzo viene scritto 3.14, voilà il pi greco!
Il primo Pi Day è stato festeggiato all'Exploratorium di San Francisco nel 1988, inventato dal fisico Larry Shaw. Da allora, ogni anno un numero sempre crescente di università, musei, istituzioni, scuole ricordano questo numero speciale e al tempo stesso familiare: tutti lo incontriamo almeno una volta nella vita quando impariamo a calcolare la lunghezza della circonferenza.
Anche al museo abbiamo deciso di festeggiarlo, all'interno del nuovissimo laboratorio di matematica.
Ecco la scaletta dei temi che in vario modo presentiamo.
Dato che pi greco è strettamente legato al cerchio, Alessandro
Locatelli, maestro di origami, ha proposto di realizzare un
cerchio/spirale a partire da un rettangolo, un foglio A3.
Per approfondire la conoscenza del numero, facciamoci una passeggiata/corsa lungo le sue cifre decimali con una specie di gioco dell'oca: chi arriva più lontano?
Usiamo un dado a 10 facce e un tabellone con una
lunga fila di caselle disposte a spirale: ogni casella ospita una cifra
decimale di pi greco.
I partecipanti partono da "3,"; ognuno tira il dado e si sposta in avanti fino a quando
incontra la cifra indicata dal dado.
Il gioco è a tempo: all'inizio si stabilisce la durata
del gioco e vince chi è arrivato più lontano allo scadere
del tempo.
Che cosa c'è nelle cifre decimali di pi greco? un sacco di cose, per
esempio la mia data di nascita, ma anche la tua, quella di
Stefano, di Fabrizio, di Patrizia, di .... In questo sito http://www.subidiom.com/pi/ si può cercare una stringa di numeri all'interno dei primi due miliardi di decimali. Lo usiamo abitualmente in attività con le scuole; finora ho sempre trovato tutte le stringhe di 8 cifre che ho cercato, quindi tutte le date di nascita, mentre con 9 cifre l'esito non è sempre garantito.
I 2 miliardi di decimali presenti in quel sito non sono nulla in confronto alle infinite cifre di pi greco e neppure in confronto alle cifre calcolate fino ad oggi: Scoperta la 2 000.000.000.000.000ma cifra di pi greco: è
uno 0 , cioè sono stati calcolati i primi 2 milioni di miliardi di cifre decimali!
Ma non ci servono tutte, anche volendo essere molto precisi nel calcolo: ne bastano 39, How
many
digits of Pi do you need?
Un "metro" a nastro in unità di pi permette di misurare
direttamente il diametro di tubi, alberi, e simili oggetti
cilindrici: How to Use a Diameter Tape - Texacone
Ci sono formule per calcolare Pi greco: ne troviamo un po' alla voce di wikipedia. E ci sono procedure interessanti.
In Seeing Theory: Point Estimation vediamo come usare il metodo Montecarlo. Volendolo fare noi personalmente, con una attività concreta, che cosa usare come punti? magari i buchini lasciati dalle freccette?
Forse non è così comodo, anche se divertente. E' più comodo usare altro, piccoli oggetti che sparpagliamo sul tabellone con quadrato e cerchio inscritto: coriandoli, piccole ranelle metalliche, lenticchie. Qualcosa di cui conosciamo già prima il numero
totale, così non dobbiamo perdere tempo a contare sul
momento il totale ma conteremo solo i punti
fuori dal cerchio.
Possiamo conoscere il totale o perchè il numero è riportato sulla
confezione di quel che usiamo (p.es. le ranelle metalliche) o perchè abbiamo
contato prima un campione degli oggetti (p.es. lenticchie o
coriandoli).
Ho preparato insiemi di 1000 lenticchie procedendo a peso. Prima ne ho
contate 500, poi le ho pesate, ho raddoppiato il peso e ho
ricavato tanti mucchietti con quel peso (con le mie
lenticchie 26,72 grammi): ecco tanti mucchietti da circa 1000
lenticchie l'uno (è vero che ho usato lenticchie piccole,
ma non credevo che in mezzo chilo ce ne fossero così
tante!).
La prova con i visitatori ha messo in evidenza che è davvero difficile distribuire a caso le lenticchie, cioè abbiamo trovato la stessa difficoltà messa in evidenza nel video. E non ho trovato un modo furbo per risolvere il problema.
Un'altra procedura interessante usa il metodo di Buffon, come ci mostra questo video in cui si utilizzano fiammiferi.
Questo metodo ha funzionato proprio bene. Ho preparato quattro tabelloni e dato 100 fiammiferi a tabellone. Ogni volta abbiamo calcolato la media dei quattro risultati ed è stata sempre confortevolmente vicina al classico 3,14!
Pi greco è spesso attorno a noi. Un articolo scientifico del 1996 aveva prospettato che avesse a che fare anche con i fiumi, con il rapporto fra la lunghezza effettiva di un fiume e la distanza in linea d'aria fra la sua sorgente e la foce: Pi me a River -
Numberphile. Una ipotesi interessante, dopotutto i fiumi fanno anse che possono assomigliare ad archi di circonferenza.
Ma recentemente si è visto che non è così: A
meandering tale: the truth about pi and rivers, James
Grime.
Pi greco in musica, per veri musicisti e/o veri nerd: Pi Prog Rock -
Numberphile Sounds of Pi -
Numberphile Il mio collega Paolo, valente musicista, mi ha detto che "giocano sia sugli aspetti numerici dei tempi musicali che sulle distanze cromatiche tra le note in una specifica tonalità." immaginando che io capissi.
Ultima annotazione. In inglese Pi si pronuncia come Pie, torta, quindi per tradizione nel Pi Day non mancano le torte, tutte rigorosamente con un riferimento a π, a 3,14, ...
Purtroppo noi non possiamo offrire torte in laboratorio! Peccato; beh, fatevene una:
Per l'openday degli insegnanti di quest'anno la mia proposta per i docenti della
secondaria di primo grado è stata la bozza di un percorso dedicato alle scuole medie
che fosse trasversale per biologia e fisica considerando fenomeni "sovrapponibili" rispetto al tema dell'energia.
L'obbiettivo è stato valutare, grazie al parere di questi insegnanti e spero anche di quanti leggeranno questo post, questo percorso per renderlo eventualmente definitivo nell'i.lab Energia&Ambiente.
Il percorso si sviluppa proponendo tre coppie di esperienze, una in ambito fisico ed una in ambito biologico, con al termine di ognuna di queste una sorta di dibattito alla ricerca di analogie e differenze.
Fotovoltaico vs Fotosintesi
Questo primo confronto vorrebbe essere introduttivo, l'ingaggio per esplorare quali sono i concetti
comuni e quali sono i vocaboli che
usiamo in entrambi gli ambiti.
Materiali:
mini-pannello fotovoltaico, cavi, ventilatore
vs
elodea, becher, imbuto, provetta
D:Cosa ci trovate di simile e cosa di
diverso?
R:Sono entrambi trasformatori…da
luce a movimento (l’elettricità per qualcuno non c’era) e da luce ad ossigeno
Forse la trasformazione è ancora una metafora troppo forte
R:Il pennello reagisce subito la
pianta in ritardo. R:Qual'è la loro efficienza?
Efficienze
Questo concetto più di quello di energia mi sembra ricco dal punto di vista delle
interpretazioni e allo stesso tempo solido dal punto di vista delle
immagini che produce e vorrei fosse il tema portante
dell’attività.
Mettiamo ancora una volta a confronto due esperienze:
misuriamo quanta CO2
produciamo in più dopo uno sforzo intenso
vs
misuriamo quanta
elettricità produce la caduta dell’acqua della nostra centrale idroelettrica.
Per la misurazione della CO2 ci affidiamo ad un indicatore
di acidità (BBT Blu di BromoTimolo).
A riposo gonfiamo un palloncino, per misurare la quantità
d’aria che stiamo valutando, e lasciamolo sgonfiarsi in un becher in cui è
stata messa acqua del rubinetto e BBT in una proporzione 500ml/0,75ml.
Ripetiamo l’operazione in un secondo becher, con BBT e acqua nella stessa proporzione, dopo aver fatto 2
minuti di step.
Il BBT appare blu con un pH > 7.6, vira verso il verde con un 6 < pH < 7.6, verso il giallo con un pH < 6.
Quanto più CO2 avremo prodotto a parità di sforzo tanto meno efficiente si rivelerà il nostro "motore".
Per misurare l'elettricità prodotta dalla centrale idroelettrica, utilizzo un "energimetro" (https://mindsetsonline.co.uk/shop/making-energy-real-using-the-sep-energymeter/) in parallelo con la centrale ed un carico, questa confrontata con l’energia di caduta, misurata nello stesso intervallo di tempo, ci da a sua volta una misura dell’efficienza della nostra centrale (mgh= 9 kg * g * 1.3 m = 114,66 J).
efficienza = 2.02/114.66 = 1.8%
La domanda che avrei posto anche in questo caso, ma che non ho avuto il tempo di fare sarebbe stata:
D:Quali analogie e quali differenze troviamo tra questi due processi?
Questioni di evoluzione
Il terzo confronto vorrebbe essere tra:
come far andare una
macchinina spinta dall’aria di un palloncino più lontano possibile
vs
come gli esseri viventi si sono
evoluti
Questi alcuni risultati:
Riguardo all'evoluzione degli esseri viventi la riflessione che ho riportato è stata rispetto alla recente conferma della legge di Kleiber secondo la quale il metabolismo degli esseri viventi segue sempre la seguente relazione L=M^(3/4), dove L è la velocità con cui l'energia viene "bruciata" e M la massa dell'essere vivente.
Quello che avrei voluto osservare è se anche le automobiline costruite allo scopo di essere quanto più efficienti possibile rivelassero una "regola" analoga alla legge di Kleiber. Ma anche in questo caso non siamo riusciti a produrre una vera e propria evoluzione delle nostre creature per mancanza di tempo.
Commentate pure qui sotto per qualunque considerazione o suggerimento!!
Questa è la lampada realizzata da Linda Giampieretti con una penna 3D, inserendo l'uno nell'altro solidi e solidi platonici. Linda è una grande esperta nell'uso della penna 3D per lo studio della geometria solida e ci ha preparato un bellissimo percorso sull'argomento che sarà svolto nel nascente laboratorio di matematica.
Linda ci aveva introdotto all'argomento qualche tempo fa, conducendo un'attività con i visitatori che aveva colpito molto (vedi Disegnare nell'aria). E' stato naturale rivolgersi a lei per preparare il percorso, che proveremo prima con qualche classe "cavia" per prenderci la mano.
E nell'occasione anche i suoi studenti ci hanno fatto un regalo: dato che l'aspetto del laboratorio richiamerà un bar hanno realizzato sei sottobicchieri su cui sono disegnati i ritratti di sei matematici.
