Matematica in giro per il museo

Le attività dell'i.lab Matematica partono solitamente dal riferimento a una situazione quotidiana, mostrata da immagini o video (in genere presi da YouTube). A volte partono da una discussione fra i partecipanti che elencano situazioni in cui ritrovano il tema dell'attività. L'idea di fondo, non molto originale, è che la matematica sia ovunque attorno a noi. Per questo la cerchiamo anche nel museo, durante una visita guidata.

L'oggetto che ci aiuta a mettere a fuoco l'attenzione sulla matematica nascosta è la girante Pelton

Girante Pelton, centrale idroelettrica di Verampio, Val d'Ossola

E' un oggetto semplice, molto evidente, e gli studenti fanno osservazioni che possiamo ricapitolare così:

E' rotonda! Una forma molto utile se devo avere un movimento continuo su tempi lunghi.

Ha una simmetria di rotazione. Uno stesso elemento, il "cucchiaio", è ripetuto ad angoli costanti. Sono angoli scelti in modo furbo per far stare un numero intero di "cucchiai" nel cerchio della girante (c'è una quantizzazione).

La forma dei cucchiai è studiata in modo da ricavare il massimo di energia meccanica dall'acqua (cioè da trasformare la maggior quantità possibile di energia cinetica dell'acqua in energia di rotazione della girante e di conseguenza energia elettrica dal generatore).

C'è una proporzionalità diretta fra l'energia dell'acqua e l'energia elettrica che se ne può ricavare; non tutta l'energia dell'acqua si trasforma in energia elettrica.

L'acqua ha un movimento rettilineo ma la girante, appunto, gira: il movimento viene trasformato.

La girante ci dà quindi l'opportunità di mettere in evidenza
_la simmetria
_gli angoli
_il legame fra forma e funzione
_la proporzionalità
_la trasformazione del movimento.

Ora possiamo cimentarci con un oggetto decisamente più articolato: la locomotiva Gr-691.

La richiesta che l'animatore fa ai partecipanti è di trovare, in prima battuta, gli elementi matematici che avevano osservato nella girante, senza escludere la possibilità di trovarne di nuovi. La locomotiva si presta alle nostre indagini perchè è abbastanza complessa e le sue parti principali sono a vista; apparati più moderni nascondono in contenitori chiusi parti importanti per il loro funzionamento.

Alcuni elementi sono più evidenti: la simmetria, la forma circolare, la trasformazione del movimento (con il sistema biella-manovella). Altri vengono riconosciuti anche se sono più nascosti. La quantità di carbone immagazzinato nella sezione posteriore della locomotiva (quindi la dimensione stessa di questa sezione) è proporzionale alla distanza che bisogna percorrere, a quanti rifornimenti si possono fare durante il viaggio, alla velocità della locomotiva, al peso complessivo del convoglio. Trasportare più carbone significa aumentare il peso quindi aver bisogno di maggiore energia, quindi più carbone. Nella locomotiva può non essere un gran problema, ma i partecipanti ritrovano la stessa questione quando vedono all'esterno del padiglione ferroviario il lanciatore Vega e qui invece è un problema molto importante. Alla partenza, il peso di un razzo è prevalentemente dato dal combustibile, determinato dal peso dell'oggetto che si vuole mettere in orbita. Volendo sollevare un carico maggiore c'è bisogno di una potenza maggiore, quindi molto più combustibile, ma questo significa maggior peso che i motori devono sollevare e questo richiede molto più combustibile ... Insomma, ci sono vincoli molto stretti sul carico massimo che un razzo potrà mai portare in orbita.

C'è la possibilità di trovare matematica anche in altri punti del padiglione Ferroviario, per esempio quando guardiamo le rotaie

lo sappiamo che sono parallele fra loro, come mai le vediamo convergere?

E non trascuriamo dispositivi che potremmo considerare poco interessanti, per esempio questo apparato per azionare segnali aerei

che assomiglia molto a una spirale logaritmica: permette all'addetto di esercitare sempre la stessa forza indipendentemente dalla posizione del segnale stesso.

Che noia le dimostrazioni

Spesso gli studenti che hanno appena finito una attività nel nostro laboratorio di matematica mi dicono di essere contenti di non aver dovuto affrontare formule o dimostrazioni. Quando c'è tempo di chiacchierare un po', mi dicono che hanno capito quello su cui hanno lavorato in laboratorio perchè era evidente, che bisogno ci sarà mai di dimostrarlo come invece capita in classe e sui libri.
La loro è una osservazione interessante e non è convincente rispondere in modo astratto con le motivazioni solite a favore delle dimostrazioni. Una volta, con un gruppo particolarmente interessante di studenti di un liceo artistico, ho mostrato, recuperandole sul momento, un paio di situazioni che ci hanno aiutato a discutere meglio. Riguardano la congettura di Collatz e la formica di Langton (le avevo appena incontrate io stesso, per questo mi è risultato facile metterle in relazione).

La congettura di Collatz fa una affermazione sul comportamento di una particolare successione numerica costruita secondo un algoritmo molto semplice. Si parte da un numero intero qualsiasi che fa da inizio della sequenza. Si ottiene il numero successivo della sequenza facendo una operazione sul primo numero: se è pari lo si divide per due, se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1 (così diventa pari); per ottenere il terzo numero si fa la stessa cosa sul secondo numero, e così via per tutti gli altri.  Per esempio, partiamo da 7. La successione è: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,  e si ripete continuamente il ciclo 4, 2, 1.
Come si vede, la successione non ha sempre lo stesso andamento, cioè non diminuisce sempre o aumenta sempre ma saltella fra i numeri. Lothar Collatz, all'inizio degli anni 1930, ha avanzato l'ipotesi che a partire da qualunque numero intero la successione dopo aver saltellato fra numeri più grandi e più piccoli arrivi sempre al ciclo infinito 4, 2, 1, senza però darne una dimostrazione formale: per questo si chiama congettura.

Naturalmente, da quando sono stati disponibili i computer sono state calcolate sequenze partendo da un enorme numero di numeri naturali, anche molto grandi, trovando che si arriva sempre al ciclo 4, 2, 1 (è facile anche per noi, basta utilizzare un foglio di calcolo, certo senza arrivare a numeri grandissimi, oppure un calcolatore online tipo questo https://www.dcode.fr/collatz-conjecture o questo https://www.nitrxgen.net/collatz/27/ ). Collatz, che non aveva computer perchè ancora non esistevano, aveva ragionato in modo più raffinato, in questo video ce ne possiamo fare una idea:

UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture  

Passiamo ora alla formica di Langton. La formica vive su una scacchiera con caselle quadrate, una scacchiera enorme. Ogni casella può avere solo due colori, p.es. bianco o rosso, e cambia colore quando la formica ci va sopra. La formica si sposta di una casella alla volta: se si trova su una casella bianca allora la casella diventa rossa e la formica gira e si sposta nella casella a sinistra, se si trova su una casella rossa allora la casella diventa bianca e la formica gira e si sposta nella casella a destra (naturalmente potremmo scegliere altri due colori o invertire la regola, non cambia nulla). Vediamo quel che succede nel video Langton's Ant 

Se ci fossimo limitati al primo migliaio di passi avremmo concluso che si vede bene che la formica si muove casualmente e riempie pian piano la scacchiera. E avremmo confermato la conclusione se ci fossimo fermati dopo 8000 passi: insomma, 8000 passi sono tanti, che senso ha continuare? E così ci saremmo persi il salto verso l'autoorganizzazione attorno al passo 10 000.

Certo 10000 passi non sono molti per un computer, ma la formica di Langton ci mostra che il solo accumulo di risultati non è sufficiente a trarre conclusioni generali. Ed è per questo che la congettura di Collatz rimane una congettura, anche se mooolto plausibile, finchè sarà dimostrato che la successione costruita con quella regola termina necessariamente con il ciclo infinito 4, 2, 1.

Noterella 1
Recentemente è stato fatto qualche passo avanti: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem

Noterella 2
Nemmeno vedere che due fenomeni hanno lo stesso andamento ci autorizza ad affermare che sono legati fra loro, o che addirittura uno provoca l'altro. E' quel che ci dicono sempre studiando statistica e Spourious correlation  ce ne fornisce esempi decisamente divertenti: assolutamente da vedere!


Altri riferimenti
The Collatz Conjecture in Colour
Collatz conjecture da wikipedia inglese
Congettura di Collatz da wikipedia italiana
The on-line encyclopedia of integer sequences
 

Rotazioni su rotazioni

Sì, lo sapevo che con una serie di Fourier si può riprodurre un segnale di forma qualsiasi ma non avevo mai pensato a quanto fosse estesa questa possibilità: il video qui sotto è illuminante

Ptolemy and Homer (Simpson)

A questo punto esageriamo

Pure Fourier series animation montage

Questo video inquadra in modo un po' più esteso la faccenda:

What is a Fourier Series? (Explained by drawing circles) - Smarter Every Day 205

E nella pagina Fourier Transform GIFs troviamo una raccolta di figure generate da rotazioni su rotazioni.

In una veloce ricerca su GeoGebra ho trovato queste app:
Drawing a Cat with epicycles
XIII SNHM: Epiciclos e Séries de Fourier (Batman)
Drawing Pi with epicycles
Drawing a T-Rex with epicycles


Matt Parker esplora forme meno spettacolari, le figure di Lissajous, ma in modo più approfondito e mostrando come realizzarle con un dispositivo fisico:

Making a physical Lissajous curve

Nella descrizione del video ci sono indicazioni su dove scaricare i fogli di calcolo che ha usato e persino che tipo di piattaforma rotante ha utilizzato.
In GeoGebra ci sono tante app sulle figure di Lissajous, per esempio Frazioni in movimento o Parker Near-missajous curve.

Scrivere il ritmo

E' facile associare il ritmo alla musica, immediato associarlo alle percussioni. Però a volte è difficile capirlo bene e/o rappresentarlo.
Per esempio, qui gli Stomp usano palloni da basket per "suonare".

Capisco che più ritmi si sovrappongono, ma non riesco bene a separarli.
Clayton Cameron ci spiega un legame fra aritmetica e ritmo, ma seguirlo richiede impegno.

Esploriamo un po' la faccenda.
Proviamo a immaginare un ritmo semplice, per esempio battendo le mani fra loro o sul tavolo. Proviamo a "scriverlo", a rappresentarlo in modo che qualcun altro possa rifarlo.

Come abbiamo fatto? Che simboli abbiamo usato? Siamo sicuri che tutti potranno interpretarli correttamente?

Il compositore Steve Reich suona un ritmo battendo le mani (qui The Steve Reich website); lo rappresenta con pallini pieni e vuoti:

Due sequenze uguali che si ripetono e periodicamente vengono sfasate l'una rispetto all'altra.
Il compositore ci mostra altro esempio di rappresentazione:  Steve Reich - Clapping Music (Scrolling)

So che ci sono modi classici per rappresentare un ritmo, per esempio

però mi lasciava scontento il fatto che una sequenza che si ripete sia rappresentata in una forma lineare.

John Varney ci suggerisce un modo diverso, interessante ed efficace per rappresentare un ritmo.

Nel laboratorio di matematica chiedo ai partecipanti di trascrivere nella forma indicata da Varney il ritmo che hanno "scritto" prima. Usiamo un'asta rotante come lancetta.

Chiedo ai partecipanti di usarlo un po', magari suggerisce come articolare il ritmo iniziale.
L'asta è attaccata a un motore Lego; Fabio ha realizzato le preziose scatole lignee che contengono il tutto (motore e batteria). I due cavetti terminano con morsetti a coccodrillo: per attivare il motore si collegano i due morsetti. 

Dopo che i partecipanti hanno preso confidenza con il dispositivo e il tipo di rappresentazione, faccio  ascoltare i due brani seguenti per confrontare i ritmi:

Per quanto di genere molto diverso, hanno lo stesso ritmo. La differenza sta nella velocità del ritmo, nel suo bpm (beat per minute).

Come possiamo ottenere una velocità diversa con la nostra asta rotante, senza aumentare la velocità di rotazione del motore? Cioè, come possiamo modificare la rappresentazione per ottenere p.es. una velocità doppia? o metà?


Una rappresentazione circolare dei ritmi viene usata nella musica tradizionale eseguita dalle orchestre Gamelan dell'Isola di Bali, vedi  Marcia Ascher, Etnomatematica, Bollati Boringhieri, cap.3-Cicli temporali

Chi è il mio vicino?

Sto preparando un percorso nuovo per il laboratorio di matematica e sono andato a riguardare gli automi cellulari, che potrebbero prestarsi ad essere sperimentati dai visitatori.
Ho incontrato questa app: La parabola dei poligoni, che mostra un esempio di come scelte apparentemente innocue possano avere effetti inaspettati e inquietanti.

Una delle realizzatrici è l'ottima Vi Hart, che tanti video di matematica ha prodotto.

Il volo del falco e la spirale logaritmica

Nel vecchio post A spirale con lo specchio riportavo un sistema per disegnare una spirale logaritmica usando uno specchietto.

Ho applicato lo stesso sistema su una scala leggermente più grande, cercando di simulare la traiettoria del volo di un falco che punta la sua preda.

Falco pellegrino

archivio fotografico della Associazione Parus

Trasformiamoci in falchi che puntano la loro preda. Il falco veleggia e deve mantenere costante l'assetto di volo. Ruotare la testa altera l'assetto, quindi cerca di tenerla ferma. Gli occhi sono a lato della testa. Quando punta la preda la tiene costantemente nella stessa direzione di vista.

Ci serve uno specchietto su cui disegniamo un segmento verticale. In effetti abbiamo semplicemente messo un elastico a cavallo dello specchietto.

Lo specchietto con l'elastico ci fa da mirino.
Uno stativo rappresenta la posizione della nostra preda.

Teniamo davanti al volto lo specchietto, le braccia aderenti al torace.

Ruotiamoci leggermente finchè l'immagine dello stativo che vediamo nello specchietto coincide con l'elastico. Teniamo sempre le braccia aderenti al torace.

Facciamo un piccolo passo nella direzione dell'immagine dello stativo; dopo il passo immagine ed elastico non coincidono più, ruotiamoci fino a farli coincidere di nuovo, facciamo un nuovo passo e così via.

La sequenza dei passi disegna una curva molto simile a una spirale logaritmica.

Anche molti insetti agiscono in modo simile. Volano tenendo costante l'angolo con la direzione del sole o della luna: in questo modo viaggiano in linea retta. Ma se la fonte luminosa è una lampada allora volano a spirale contro la lampada.
(vedi Logarithmic spiral,  su wikipedia).

Le immagini qui sopra mostrano che abbiamo ottenuto una spirale che ci porta verso la preda. Se cambiamo l'angolo che lo specchio forma con il nostro volto potremo ottenere una spirale che si apre, cioè ci allontana dallo stativo.

Aspettando il giorno del pi greco

Mercoledì 14 marzo è il giorno del pi greco (π),  o, meglio, è il Pi Day: l'uso dell'inglese è d'obbligo, gli anglosassoni scrivono la data mettendo prima il mese e poi il giorno, quindi il 14 marzo viene scritto 3.14, voilà il pi greco!

Il primo Pi Day è stato festeggiato all'Exploratorium di San Francisco nel 1988, inventato dal fisico Larry Shaw. Da allora, ogni anno un numero sempre crescente di università, musei, istituzioni, scuole ricordano  questo numero speciale e al tempo stesso familiare: tutti lo incontriamo almeno una volta nella vita quando impariamo a calcolare la lunghezza della circonferenza.
Anche al museo abbiamo deciso di festeggiarlo, all'interno del nuovissimo laboratorio di matematica.
Ecco la scaletta dei temi che in vario modo presentiamo.

Dato che pi greco è strettamente legato al cerchio, Alessandro Locatelli, maestro di origami, ha proposto di realizzare un cerchio/spirale a partire da un rettangolo, un foglio A3.

 qui lo schema per realizzarlo (con un solo giro) a partire da un foglio A3

Per approfondire la conoscenza del numero, facciamoci una passeggiata/corsa lungo le sue cifre decimali con una specie di gioco dell'oca: chi arriva più lontano?

Usiamo un dado a 10 facce e un tabellone con una lunga fila di caselle disposte a spirale: ogni casella ospita una cifra decimale di pi greco.
I partecipanti partono da "3,"; ognuno tira il dado e si sposta in avanti fino a quando incontra la cifra indicata dal dado.
Il gioco è a tempo: all'inizio si stabilisce la durata del gioco e vince chi è arrivato più lontano allo scadere del tempo.

Che cosa c'è nelle cifre decimali di pi greco? un sacco di cose, per esempio la mia data di nascita, ma anche la tua, quella di Stefano, di Fabrizio, di Patrizia, di .... In questo sito http://www.subidiom.com/pi/ si può cercare una stringa di numeri all'interno dei primi due miliardi di decimali. Lo usiamo abitualmente in attività con le scuole; finora ho sempre trovato tutte le stringhe di 8 cifre che ho cercato, quindi tutte le date di nascita, mentre con 9 cifre l'esito non è sempre garantito.

I 2 miliardi di decimali presenti in quel sito non sono nulla in confronto alle infinite cifre di pi greco e neppure in confronto alle cifre calcolate fino ad oggi: Scoperta la 2 000.000.000.000.000ma cifra di pi greco: è uno 0 , cioè sono stati calcolati i primi 2 milioni di miliardi di cifre decimali!
Ma non ci servono tutte, anche volendo essere molto precisi nel calcolo: ne bastano 39, How many digits of Pi do you need?


Un "metro" a nastro in unità di pi permette di misurare direttamente il diametro di tubi, alberi, e simili oggetti cilindrici: How to Use a Diameter Tape - Texacone



Ci sono formule per calcolare Pi greco: ne troviamo un po' alla voce di wikipedia. E ci sono procedure interessanti.

In Seeing Theory: Point Estimation vediamo come usare il metodo Montecarlo. Volendolo fare noi personalmente, con una attività concreta, che cosa usare come punti? magari i buchini lasciati dalle freccette?

Calculating Pi with Darts

Forse non è così comodo, anche se divertente. E' più comodo usare altro, piccoli oggetti che sparpagliamo sul tabellone con quadrato e cerchio inscritto: coriandoli, piccole ranelle metalliche, lenticchie. Qualcosa di cui conosciamo già prima il numero totale, così non dobbiamo perdere tempo a contare sul momento il totale ma conteremo solo i punti fuori dal cerchio.
Possiamo conoscere il totale o perchè il numero è riportato sulla confezione di quel che usiamo (p.es. le ranelle metalliche) o perchè abbiamo contato prima un campione degli oggetti (p.es. lenticchie o coriandoli).
Ho preparato insiemi di 1000 lenticchie procedendo a peso. Prima ne ho contate 500, poi le ho pesate, ho raddoppiato il peso e ho ricavato tanti mucchietti con quel peso (con le mie lenticchie 26,72 grammi): ecco tanti mucchietti da circa 1000 lenticchie l'uno (è vero che ho usato lenticchie piccole, ma non credevo che in mezzo chilo ce ne fossero così tante!).
La prova con i visitatori ha messo in evidenza che è davvero difficile distribuire a caso le lenticchie, cioè abbiamo trovato la stessa difficoltà messa in evidenza nel video. E non ho trovato un modo furbo per risolvere il problema.

Un'altra procedura interessante usa il metodo di Buffon, come ci mostra questo video in cui si utilizzano fiammiferi.

Pi and Buffon's Matches - Numberphile

Questo metodo ha funzionato proprio bene. Ho preparato quattro tabelloni e dato 100 fiammiferi a tabellone. Ogni volta abbiamo calcolato la media dei quattro risultati ed è stata sempre confortevolmente vicina al classico 3,14!

Qui ci sono approfondimenti sul metodo:
Buffon's Needle Problem
Buffon's Needle Problem


Pi greco è spesso attorno a noi. Un articolo scientifico del 1996 aveva prospettato che avesse a che fare anche con i fiumi, con il rapporto fra la lunghezza effettiva di un fiume e la distanza in linea d'aria fra la sua sorgente e la foce: Pi me a River - Numberphile. Una ipotesi interessante, dopotutto i fiumi fanno anse che possono assomigliare ad archi di circonferenza.
Ma recentemente si è visto che non è così: A meandering tale: the truth about pi and rivers, James Grime.


Pi greco in musica, per veri musicisti e/o veri nerd:
Pi Prog Rock - Numberphile
Sounds of Pi - Numberphile
Il mio collega Paolo, valente musicista, mi ha detto che "giocano sia sugli aspetti numerici dei tempi musicali che sulle distanze cromatiche tra le note in una specifica tonalità." immaginando che io capissi.

Per gli altri, nell'album Aerial Kate Bush interpreta un brano intitolato "π", anche se ascoltatori attenti hanno subito trovato qualcosa che non va!
   Pi, by Kate Bush, lyrics
   Kate Bush sings Pi (incorrectly)


Ultima annotazione. In inglese Pi si pronuncia come Pie, torta, quindi per tradizione nel Pi Day non mancano le torte, tutte rigorosamente con un riferimento a π, a 3,14, ...
Purtroppo noi non possiamo offrire torte in laboratorio! Peccato; beh, fatevene una:

Triple Berry Pi Day Pie