venerdì 8 maggio 2020

Prospettografi: le macchine per disegnare

Guardando un’opera d’arte, a volte, ci si potrebbe chiedere come gli artisti riuscissero e rappresentare in modo preciso paesaggi e vedute in prospettiva, senza tutte le conoscenze e la tecnologia che ci possono aiutare oggi.
Durante il Medioevo, e soprattutto nel Rinascimento, il lavoro di apprendistato era fondamentale per la conoscenza e preparazione dei materiali, ma anche per avviare i giovani al disegno, base fondamentale per pittura, scultura, oreficeria, cesellatura e per la progettazione architettonica.

Maestri e allievi si esercitavano e a volte realizzavano i loro bozzetti preparatori usando delle “macchine per il disegno”, conosciute oggi come Prospettografi.
Queste macchine cominciarono a comparire nel 15° secolo, ma furono precedute da molte sperimentazioni che riguardarono soprattutto lo studio delle ombre e la propagazione della luce.
Inizialmente erano perlopiù strumenti dimostrativi che illustravano i principi base della prospettiva centrale ma nel tempo diventarono vere e proprie macchine matematiche che giocarono un ruolo fondamentale nella produzione di opere d’arte.
L’università di Modena e di Reggio Emilia qualche anno fa realizzarono una mostra dedicata proprio alle macchine matematiche per il disegno.
Oggi hanno un’associazione macchine matematiche molto attiva nello studio e ricerca.

Lo strumento geometrico per eccellenza fu lo SPORTELLO, descritto per la prima volta da Albrecht Dürer. Questo, insieme alla griglia e al vetro, furono i più usati nelle botteghe artistiche.

Ecco dove vedere il disegno dello sportello e un’animazione per vederlo in funzione.

Molti artisti, oltre a Dürer, ci hanno lasciato testimonianza di questi strumenti.
Anche Leonardo da Vinci disegnò un vetro, visibile in un angolo del foglio 5r del Codice Atlantico, conservato nella Biblioteca Ambrosiana di Milano.

In laboratorio Leonardo si possono provare le ricostruzioni artigianali di alcuni prospettografi, studiate e progettate dal Museo partendo dai disegni del Dürer, ma è possibile costruirsene alcuni in modo semplice e usarli in classe o a casa per esercitarsi con il disegno e le proporzioni.

Per costruire un VETRO è necessario procurarsi una lastra di plexiglass, o un vetro (facilmente si trovano nei centri di bricolage), oppure possiamo recuperare un vetro di una vecchia cornice che non usiamo più.
Per poterlo usare comodamente dobbiamo costruire dei supporti che ci permettano di tenerlo in verticale.


Con un pennarello da lavagna, possiamo disegnare direttamente sulla superficie, quindi ricalcare un paesaggio, un ritratto o una natura morta. Il disegno sarà quindi ricalcato sul nostro “vetro”.  Per essere maggiormente precisi, è consigliato chiudere un occhio con la mano. Bisognerebbe anche avere un oculare dove guardare, come si vede bene nei vari disegni e ricostruzioni di prospettografi.


Il disegno fatto può essere poi riportato su carta e colorato con qualsiasi tecnica.  Basterà appoggiare il nostro foglio sopra il vetro e ricalcare i segni lasciati sulla superficie.
Uno dei vantaggi dell’uso del vetro è che è possibile portare su carta diverse copie dello stesso disegno e provare a colorarlo con diverse tecniche pittoriche.


Un altro strumento molto bello da ricostruire e molto utile per capire le proporzioni è la GRIGLIA, ricordata anche come quadrettatura.
Per costruire una griglia basta costruire un telaio con il legno compensato (oppure con un cartoncino molto spesso e resistente). Servono anche chiodi (o puntine da disegno per tenere fermi i fili) e fili di lana colorati (o fili di spago, cotone o metallo).

La griglia che abbiamo costruito è fatta di legno compensato e misura 48x36 cm, ma possono essere costruite della dimensione più comoda.  I fili di lana sono legati ai chiodi e creano un reticolato di 4x4 cm, ma possono essere usati reticolati di misure differenti, anche più grandi.


Scegliamo un soggetto e posizioniamo la griglia davanti all'oggetto o al paesaggio che vogliamo copiare.
Il nostro soggetto verrà guardato attraverso la griglia e sarà quindi visivamente scomposto in tanti quadratini.
Ogni dettaglio visto all'interno dei quadratini verrà riportato su un foglio di carta, precedentemente quadrettato con la stesse misure della griglia.


Questa tecnica di disegno permette di copiare il soggetto con una precisione incredibile.
La quadrettatura permette di fare ragionamenti sugli ingrandimenti del disegno e cambiando le dimensioni della quadrettatura si possono creare anche delle distorsioni del disegno.

La tecnica della quadrettatura veniva spesso usata per riportare il disegno su superfici come le vele delle cupole o le volte. I disegni dovevano essere deformati prospetticamente per essere visti dal basso, quindi venivano preparati con l’uso della quadrettatura.

Il telaio può essere usato anche per fare la copia di altre immagini o disegni. Basta appoggiare il telaio sul disegno e riportarlo su un altro foglio seguendo la quadrettatura.


Questi strumenti esemplificarono molto bene l’integrazione tra geometria e ottica, furono molto utili per ragionare sul disegno, sulla prospettiva e sulle misure in proporzione e furono usati anche negli studi di astronomia, nell'arte militare e nei rilevamenti topografici.

martedì 14 aprile 2020

L'apparenza di oggetti rotanti

Ho una grande passione per gli oggetti che ruotano, dalle trottole ai frisbee ai poi (non sapete che cosa sono i poi? ahi ahi, beh date un'occhiata qui e qui). Ovviamente appena in circolazione ho preso i fidget spinner anche se non mi sono mai impegnato a imparare nemmeno gli esercizi più semplici.

Dato che ruotano velocemente, gli spinner permettono di vedere bene effetti stroboscopici, che hanno a che fare con il sincronismo fra ritmi e il campionamento: basta riprenderli con la videocamera del cellulare, che registra 30 immagini al secondo (frame per second, fps). Quindi ci sono in gioco la frequenza di rotazione dello spinner e la frequenza di acquisizione immagini della videocamera.


Si vedono bene un paio di effetti. A un certo punto la rotazione si inverte, verso la fine si vedono più braccia delle tre che ha lo spinner (in effetti si notano di più i buchi che stanno nelle braccia).

In realtà il video non è mio. Questo post è pubblicato nel periodo di isolamento causato da Covid 19. Lavoro da casa e non ho sottomano i miei spinner (e neppure la collezione di trottole) che sono rimasti in museo. Ho chiesto l'aiuto della mia collega Valeria e del suo figliolo Pietro, che mi/ci ha prestato il suo: il video e le foto sono loro.  Grazie!

Però in certi momenti si vede anche qualche deformazione nella forma dello spinner. Allora Valeria ha scattato immagini a ripetizione mentre lo spinner ruotava e queste due sono significative:


gli angoli fra le braccia sono sbagliati,


la dimensione di un braccio è maggiore di quella degli altri due.

Questo non ha a che fare con l'effetto stroboscopico. E se avesse a che fare con il modo in cui viene registrata l'immagine dalla fotocamera?

Le fotocamere digitali non registrano in un colpo solo l'immagine che cade sul sensore. Questo è quel che avveniva nelle macchine fotografiche a pellicola dotate di otturatore centrale: l'otturatore si apriva e la luce colpiva tutta la superficie del fotogramma per la durata del tempo impostato dal fotografo.
Le fotocamere digitali acquisiscono le intensità luminose dell'immagine che cade sul sensore una linea per volta, eseguendo quindi una scansione dell'intera immagine. Questo avviene molto velocemente e in genere non ci sono problemi (anche le macchine fotografiche con otturatore a tendina eseguivano sostanzialmente una scansione dell'immagine).

Però lo spinner gira molto velocemente e in certi momenti il movimento delle braccia avviene con una velocità paragonabile a quella con cui avviene la scansione. Se il braccio si muove nello stesso senso della linea di scansione, con la stessa velocità o quasi, e si trova in corrispondenza della linea di scansione allora ci resta più tempo del normale. Se invece si muove in direzione opposta ci resta meno tempo.
I tempi di scansione della fotocamera sono troppo rapidi per poterci giocare un po' e vedere bene quel che succede, bisogna limitarsi a immagini pescate a caso. Però un altro dispositivo esegue la scansione di una immagine, e con velocità decisamente minore: lo scanner.

Usiamolo per vedere che cosa succede quando la velocità di scansione e la velocità dell'oggetto ripreso sono simili.

per comodità ho tolto il coperchio dello scanner

Ho disegnato una immagine, l'ho appoggiata sul piano dello scanner, l'ho attivato e mentre passava la barra che esegue la scansione ho ruotato il foglio con l'immagine.


La prima immagine che ho provato aveva molte curve:
ecco un paio di risultati


e con una rotazione prolungata e un poco di traslazione:
La seconda immagine di prova aveva elementi rettilinei
ed ecco qualche risultato:



Naturalmente è possibile anche traslare il foglio mentre lo si ruota (un po' lo devo aver fatto anch'io), si può fare più di un giro, e così via.

Provate voi stessi!


Dopo aver pubblicato questo post ho trovato altre cose interessanti, sono qui: L'apparenza di oggetti rotanti II.


Nota 1. Mentre giocherellavo con lo scanner e cercavo informazioni sulla faccenda, ho trovato questo video del grande Matt Parker che parla proprio della stessa cosa: Rolling Shutter Explained on the Cheap . Si può fare la stessa cosa con una fotocopiatrice. Il video di Parker fa riferimento a  Rolling Shutter Explained (Why Do Cameras Do This?) - Smarter Every Day 172. Il loro sostegno mi ha confortato. Molto, molto tempo dopo ho trovato Distortions

Nota 2. Gli effetti stroboscopici sono sempre interessanti. Tempo fa avevo guardato con attenzione la ruota della mia bicicletta nei post Andare in salita con la ruota che sembra ferma e Effetto stroboscopico 2 (il ritorno)  e poi ho visto come esempi Congelare l'acqua, ma senza il freddo

mercoledì 8 aprile 2020

ombre colorate ...fatte in casa

Ciao a tutti!

In questo periodo in cui l'home made è molto di moda vi racconto come ho realizzato il mio set per le ombre colorate.



Materiali:
  • 3 lampade da 1500 lumen
io ho usato delle lampade a led ricaricabili 
https://www.amazon.it/dp/B07SW3Q9XG/ref=cm_sw_r_tw_x_


ma vanno bene anche abat-jour o lampade da tavolo che abbiano una luminosità di 1000/1500 lumen, quindi con queste potenze più o meno equivalenti:


LumenIncandescenzaLed
110075W17W
1600100W20W


  • 3 gelatine o lucidi: uno rosso, uno blu ed uno verde
https://www.amazon.it/dp/B01K9OA1IW/ref=cm_sw_r_tw_dp_U_x_fYEFEbFYSKGR2

  • 1 schermo, io l'ho realizzato con il retro della carta da pacchi che avevo in casa, ma in alternativa van bene teli o lenzuola
  • 3 sagome di cartone x alloggiare i lucidi sulla lampada, io ho usato gli imballaggi di Amazon





  • 3 metri di spazio per giocare
  • 1 o più bimbi che ballano



Aspetti teorici

Quanto avviene sullo schermo è descritto come Sintesi Additiva dei colori
https://it.wikipedia.org/wiki/Mescolanza_additiva
un fenomeno percettivo ben noto e molto sfruttato.

Per ulteriori approfondimenti vi rimando al sito dell'Exploratorium che dà sempre un sacco di soddisfazioni
https://www.exploratorium.edu/snacks/colored-shadows
https://www.exploratorium.edu/exhibits/colored-shadows
https://www.exploratorium.edu/video/colored-shadows-demo
https://www.exploratorium.edu/video/colored-shadows

lunedì 23 marzo 2020

Matematica in giro per il museo

Le attività dell'i.lab Matematica partono solitamente dal riferimento a una situazione quotidiana, mostrata da immagini o video (in genere presi da YouTube). A volte partono da una discussione fra i partecipanti che elencano situazioni in cui ritrovano il tema dell'attività. L'idea di fondo, non molto originale, è che la matematica sia ovunque attorno a noi. Per questo la cerchiamo anche nel museo, durante una visita guidata.

L'oggetto che ci aiuta a mettere a fuoco l'attenzione sulla matematica nascosta è la girante Pelton

E' un oggetto semplice, molto evidente, e gli studenti fanno osservazioni che possiamo ricapitolare così:

E' rotonda! Una forma molto utile se devo avere un movimento continuo su tempi lunghi.

Ha una simmetria di rotazione. Uno stesso elemento, il "cucchiaio", è ripetuto ad angoli costanti. Sono angoli scelti in modo furbo per far stare un numero intero di "cucchiai" nel cerchio della girante (c'è una quantizzazione).

La forma dei cucchiai è studiata in modo da ricavare il massimo di energia meccanica dall'acqua (cioè da trasformare la maggior quantità possibile di energia cinetica dell'acqua in energia di rotazione della girante e di conseguenza energia elettrica dal generatore).

C'è una proporzionalità diretta fra l'energia dell'acqua e l'energia elettrica che se ne può ricavare; non tutta l'energia dell'acqua si trasforma in energia elettrica.

L'acqua ha un movimento rettilineo ma la girante, appunto, gira: il movimento viene trasformato.

La girante ci dà quindi l'opportunità di mettere in evidenza
_la simmetria
_gli angoli
_il legame fra forma e funzione
_la proporzionalità
_la trasformazione del movimento.

Ora possiamo cimentarci con un oggetto decisamente più articolato: la locomotiva Gr-691.


La richiesta che l'animatore fa ai partecipanti è di trovare, in prima battuta, gli elementi matematici che avevano osservato nella girante, senza escludere la possibilità di trovarne di nuovi. La locomotiva si presta alle nostre indagini perchè è abbastanza complessa e le sue parti principali sono a vista; apparati più moderni nascondono in contenitori chiusi parti importanti per il loro funzionamento.

Alcuni elementi sono più evidenti: la simmetria, la forma circolare, la trasformazione del movimento (con il sistema biella-manovella). Altri vengono riconosciuti anche se sono più nascosti. La quantità di carbone immagazzinato nella sezione posteriore della locomotiva (quindi la dimensione stessa di questa sezione) è proporzionale alla distanza che bisogna percorrere, a quanti rifornimenti si possono fare durante il viaggio, alla velocità della locomotiva, al peso complessivo del convoglio. Trasportare più carbone significa aumentare il peso quindi aver bisogno di maggiore energia, quindi più carbone. Nella locomotiva può non essere un gran problema, ma i partecipanti ritrovano la stessa questione quando vedono all'esterno del padiglione ferroviario il lanciatore Vega e qui invece è un problema molto importante. Alla partenza, il peso di un razzo è prevalentemente dato dal combustibile, determinato dal peso dell'oggetto che si vuole mettere in orbita. Volendo sollevare un carico maggiore c'è bisogno di una potenza maggiore, quindi molto più combustibile, ma questo significa maggior peso che i motori devono sollevare e questo richiede molto più combustibile ... Insomma, ci sono vincoli molto stretti sul carico massimo che un razzo potrà mai portare in orbita.

C'è la possibilità di trovare matematica anche in altri punti del padiglione Ferroviario, per esempio quando guardiamo le rotaie


lo sappiamo che sono parallele fra loro, come mai le vediamo convergere?

E non trascuriamo dispositivi che potremmo considerare poco interessanti, per esempio questo apparato per azionare segnali aerei


che assomiglia molto a una spirale logaritmica: permette all'addetto di esercitare sempre la stessa forza indipendentemente dalla posizione del segnale stesso.

martedì 17 marzo 2020

Che noia le dimostrazioni

Spesso gli studenti che hanno appena finito una attività nel nostro laboratorio di matematica mi dicono di essere contenti di non aver dovuto affrontare formule o dimostrazioni. Quando c'è tempo di chiacchierare un po', mi dicono che hanno capito quello su cui hanno lavorato in laboratorio perchè era evidente, che bisogno ci sarà mai di dimostrarlo come invece capita in classe e sui libri.
La loro è una osservazione interessante e non è convincente rispondere in modo astratto con le motivazioni solite a favore delle dimostrazioni. Una volta, con un gruppo particolarmente interessante di studenti di un liceo artistico, ho mostrato, recuperandole sul momento, un paio di situazioni che ci hanno aiutato a discutere meglio. Riguardano la congettura di Collatz e la formica di Langton (le avevo appena incontrate io stesso, per questo mi è risultato facile metterle in relazione).

La congettura di Collatz fa una affermazione sul comportamento di una particolare successione numerica costruita secondo un algoritmo molto semplice. Si parte da un numero intero qualsiasi che fa da inizio della sequenza. Si ottiene il numero successivo della sequenza facendo una operazione sul primo numero: se è pari lo si divide per due, se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1 (così diventa pari); per ottenere il terzo numero si fa la stessa cosa sul secondo numero, e così via per tutti gli altri.  Per esempio, partiamo da 7. La successione è: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,  e si ripete continuamente il ciclo 4, 2, 1.
Come si vede, la successione non ha sempre lo stesso andamento, cioè non diminuisce sempre o aumenta sempre ma saltella fra i numeri. Lothar Collatz, all'inizio degli anni 1930, ha avanzato l'ipotesi che a partire da qualunque numero intero la successione dopo aver saltellato fra numeri più grandi e più piccoli arrivi sempre al ciclo infinito 4, 2, 1, senza però darne una dimostrazione formale: per questo si chiama congettura.

Naturalmente, da quando sono stati disponibili i computer sono state calcolate sequenze partendo da un enorme numero di numeri naturali, anche molto grandi, trovando che si arriva sempre al ciclo 4, 2, 1 (è facile anche per noi, basta utilizzare un foglio di calcolo, certo senza arrivare a numeri grandissimi, oppure un calcolatore online tipo questo https://www.dcode.fr/collatz-conjecture o questo https://www.nitrxgen.net/collatz/27/ ). Collatz, che non aveva computer perchè ancora non esistevano, aveva ragionato in modo più raffinato, in questo video ce ne possiamo fare una idea:


Passiamo ora alla formica di Langton. La formica vive su una scacchiera con caselle quadrate, una scacchiera enorme. Ogni casella può avere solo due colori, p.es. bianco o rosso, e cambia colore quando la formica ci va sopra. La formica si sposta di una casella alla volta: se si trova su una casella bianca allora la casella diventa rossa e la formica gira e si sposta nella casella a sinistra, se si trova su una casella rossa allora la casella diventa bianca e la formica gira e si sposta nella casella a destra (naturalmente potremmo scegliere altri due colori o invertire la regola, non cambia nulla). Vediamo quel che succede nel video Langton's Ant 


Se ci fossimo limitati al primo migliaio di passi avremmo concluso che si vede bene che la formica si muove casualmente e riempie pian piano la scacchiera. E avremmo confermato la conclusione se ci fossimo fermati dopo 8000 passi: insomma, 8000 passi sono tanti, che senso ha continuare? E così ci saremmo persi il salto verso l'autoorganizzazione attorno al passo 10 000.

Certo 10000 passi non sono molti per un computer, ma la formica di Langton ci mostra che il solo accumulo di risultati non è sufficiente a trarre conclusioni generali. Ed è per questo che la congettura di Collatz rimane una congettura, anche se mooolto plausibile, finchè sarà dimostrato che la successione costruita con quella regola termina necessariamente con il ciclo infinito 4, 2, 1.

Noterella 1
Recentemente è stato fatto qualche passo avanti: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem

Noterella 2
Nemmeno vedere che due fenomeni hanno lo stesso andamento ci autorizza ad affermare che sono legati fra loro, o che addirittura uno provoca l'altro. E' quel che ci dicono sempre studiando statistica e Spourious correlation  ce ne fornisce esempi decisamente divertenti: assolutamente da vedere!


Altri riferimenti
The Collatz Conjecture in Colour
Collatz conjecture da wikipedia inglese
Congettura di Collatz da wikipedia italiana
The on-line encyclopedia of integer sequences
 

giovedì 5 dicembre 2019

Rotazioni su rotazioni

Sì, lo sapevo che con una serie di Fourier si può riprodurre un segnale di forma qualsiasi ma non avevo mai pensato a quanto fosse estesa questa possibilità: il video qui sotto è illuminante


A questo punto esageriamo


Questo video inquadra in modo un po' più esteso la faccenda:


E nella pagina Fourier Transform GIFs troviamo una raccolta di figure generate da rotazioni su rotazioni.

In una veloce ricerca su GeoGebra ho trovato queste app:
Drawing a Cat with epicycles
XIII SNHM: Epiciclos e Séries de Fourier (Batman)
Drawing Pi with epicycles
Drawing a T-Rex with epicycles


Matt Parker esplora forme meno spettacolari, le figure di Lissajous, ma in modo più approfondito e mostrando come realizzarle con un dispositivo fisico:


Nella descrizione del video ci sono indicazioni su dove scaricare i fogli di calcolo che ha usato e persino che tipo di piattaforma rotante ha utilizzato.
In GeoGebra ci sono tante app sulle figure di Lissajous, per esempio Frazioni in movimento o Parker Near-missajous curve.

martedì 8 ottobre 2019

Scrivere il ritmo

E' facile associare il ritmo alla musica, immediato associarlo alle percussioni. Però a volte è difficile capirlo bene e/o rappresentarlo.
Per esempio, qui gli Stomp usano palloni da basket per "suonare".


Capisco che più ritmi si sovrappongono, ma non riesco bene a separarli.
Clayton Cameron ci spiega un legame fra aritmetica e ritmo, ma seguirlo richiede impegno.

Esploriamo un po' la faccenda.
Proviamo a immaginare un ritmo semplice, per esempio battendo le mani fra loro o sul tavolo. Proviamo a "scriverlo", a rappresentarlo in modo che qualcun altro possa rifarlo.

Come abbiamo fatto? Che simboli abbiamo usato? Siamo sicuri che tutti potranno interpretarli correttamente?

Il compositore Steve Reich suona un ritmo battendo le mani (qui The Steve Reich website); lo rappresenta con pallini pieni e vuoti:


Due sequenze uguali che si ripetono e periodicamente vengono sfasate l'una rispetto all'altra.
Il compositore ci mostra altro esempio di rappresentazione:  Steve Reich - Clapping Music (Scrolling)

So che ci sono modi classici per rappresentare un ritmo, per esempio





però mi lasciava scontento il fatto che una sequenza che si ripete sia rappresentata in una forma lineare.

John Varney ci suggerisce un modo diverso, interessante ed efficace per rappresentare un ritmo.


Nel laboratorio di matematica chiedo ai partecipanti di trascrivere nella forma indicata da Varney il ritmo che hanno "scritto" prima. Usiamo un'asta rotante come lancetta.


Chiedo ai partecipanti di usarlo un po', magari suggerisce come articolare il ritmo iniziale.
L'asta è attaccata a un motore Lego; Fabio ha realizzato le preziose scatole lignee che contengono il tutto (motore e batteria). I due cavetti terminano con morsetti a coccodrillo: per attivare il motore si collegano i due morsetti. 

Dopo che i partecipanti hanno preso confidenza con il dispositivo e il tipo di rappresentazione, faccio  ascoltare i due brani seguenti per confrontare i ritmi:



Per quanto di genere molto diverso, hanno lo stesso ritmo. La differenza sta nella velocità del ritmo, nel suo bpm (beat per minute).

Come possiamo ottenere una velocità diversa con la nostra asta rotante, senza aumentare la velocità di rotazione del motore? Cioè, come possiamo modificare la rappresentazione per ottenere p.es. una velocità doppia? o metà?


Una rappresentazione circolare dei ritmi viene usata nella musica tradizionale eseguita dalle orchestre Gamelan dell'Isola di Bali, vedi  Marcia Ascher, Etnomatematica, Bollati Boringhieri, cap.3-Cicli temporali