Matematica in giro per il museo

Le attività dell'i.lab Matematica partono solitamente dal riferimento a una situazione quotidiana, mostrata da immagini o video (in genere presi da YouTube). A volte partono da una discussione fra i partecipanti che elencano situazioni in cui ritrovano il tema dell'attività. L'idea di fondo, non molto originale, è che la matematica sia ovunque attorno a noi. Per questo la cerchiamo anche nel museo, durante una visita guidata.

L'oggetto che ci aiuta a mettere a fuoco l'attenzione sulla matematica nascosta è la girante Pelton

Girante Pelton, centrale idroelettrica di Verampio, Val d'Ossola

E' un oggetto semplice, molto evidente, e gli studenti fanno osservazioni che possiamo ricapitolare così:

E' rotonda! Una forma molto utile se devo avere un movimento continuo su tempi lunghi.

Ha una simmetria di rotazione. Uno stesso elemento, il "cucchiaio", è ripetuto ad angoli costanti. Sono angoli scelti in modo furbo per far stare un numero intero di "cucchiai" nel cerchio della girante (c'è una quantizzazione).

La forma dei cucchiai è studiata in modo da ricavare il massimo di energia meccanica dall'acqua (cioè da trasformare la maggior quantità possibile di energia cinetica dell'acqua in energia di rotazione della girante e di conseguenza energia elettrica dal generatore).

C'è una proporzionalità diretta fra l'energia dell'acqua e l'energia elettrica che se ne può ricavare; non tutta l'energia dell'acqua si trasforma in energia elettrica.

L'acqua ha un movimento rettilineo ma la girante, appunto, gira: il movimento viene trasformato.

La girante ci dà quindi l'opportunità di mettere in evidenza
_la simmetria
_gli angoli
_il legame fra forma e funzione
_la proporzionalità
_la trasformazione del movimento.

Ora possiamo cimentarci con un oggetto decisamente più articolato: la locomotiva Gr-691.

La richiesta che l'animatore fa ai partecipanti è di trovare, in prima battuta, gli elementi matematici che avevano osservato nella girante, senza escludere la possibilità di trovarne di nuovi. La locomotiva si presta alle nostre indagini perchè è abbastanza complessa e le sue parti principali sono a vista; apparati più moderni nascondono in contenitori chiusi parti importanti per il loro funzionamento.

Alcuni elementi sono più evidenti: la simmetria, la forma circolare, la trasformazione del movimento (con il sistema biella-manovella). Altri vengono riconosciuti anche se sono più nascosti. La quantità di carbone immagazzinato nella sezione posteriore della locomotiva (quindi la dimensione stessa di questa sezione) è proporzionale alla distanza che bisogna percorrere, a quanti rifornimenti si possono fare durante il viaggio, alla velocità della locomotiva, al peso complessivo del convoglio. Trasportare più carbone significa aumentare il peso quindi aver bisogno di maggiore energia, quindi più carbone. Nella locomotiva può non essere un gran problema, ma i partecipanti ritrovano la stessa questione quando vedono all'esterno del padiglione ferroviario il lanciatore Vega e qui invece è un problema molto importante. Alla partenza, il peso di un razzo è prevalentemente dato dal combustibile, determinato dal peso dell'oggetto che si vuole mettere in orbita. Volendo sollevare un carico maggiore c'è bisogno di una potenza maggiore, quindi molto più combustibile, ma questo significa maggior peso che i motori devono sollevare e questo richiede molto più combustibile ... Insomma, ci sono vincoli molto stretti sul carico massimo che un razzo potrà mai portare in orbita.

C'è la possibilità di trovare matematica anche in altri punti del padiglione Ferroviario, per esempio quando guardiamo le rotaie

lo sappiamo che sono parallele fra loro, come mai le vediamo convergere?

E non trascuriamo dispositivi che potremmo considerare poco interessanti, per esempio questo apparato per azionare segnali aerei

che assomiglia molto a una spirale logaritmica: permette all'addetto di esercitare sempre la stessa forza indipendentemente dalla posizione del segnale stesso.

Rotazioni su rotazioni

Sì, lo sapevo che con una serie di Fourier si può riprodurre un segnale di forma qualsiasi ma non avevo mai pensato a quanto fosse estesa questa possibilità: il video qui sotto è illuminante

Ptolemy and Homer (Simpson)

A questo punto esageriamo

Pure Fourier series animation montage

Questo video inquadra in modo un po' più esteso la faccenda:

What is a Fourier Series? (Explained by drawing circles) - Smarter Every Day 205

E nella pagina Fourier Transform GIFs troviamo una raccolta di figure generate da rotazioni su rotazioni.

In una veloce ricerca su GeoGebra ho trovato queste app:
Drawing a Cat with epicycles
XIII SNHM: Epiciclos e Séries de Fourier (Batman)
Drawing Pi with epicycles
Drawing a T-Rex with epicycles


Matt Parker esplora forme meno spettacolari, le figure di Lissajous, ma in modo più approfondito e mostrando come realizzarle con un dispositivo fisico:

Making a physical Lissajous curve

Nella descrizione del video ci sono indicazioni su dove scaricare i fogli di calcolo che ha usato e persino che tipo di piattaforma rotante ha utilizzato.
In GeoGebra ci sono tante app sulle figure di Lissajous, per esempio Frazioni in movimento o Parker Near-missajous curve.

Scrivere il ritmo

E' facile associare il ritmo alla musica, immediato associarlo alle percussioni. Però a volte è difficile capirlo bene e/o rappresentarlo.
Per esempio, qui gli Stomp usano palloni da basket per "suonare".

Capisco che più ritmi si sovrappongono, ma non riesco bene a separarli.
Clayton Cameron ci spiega un legame fra aritmetica e ritmo, ma seguirlo richiede impegno.

Esploriamo un po' la faccenda.
Proviamo a immaginare un ritmo semplice, per esempio battendo le mani fra loro o sul tavolo. Proviamo a "scriverlo", a rappresentarlo in modo che qualcun altro possa rifarlo.

Come abbiamo fatto? Che simboli abbiamo usato? Siamo sicuri che tutti potranno interpretarli correttamente?

Il compositore Steve Reich suona un ritmo battendo le mani (qui The Steve Reich website); lo rappresenta con pallini pieni e vuoti:

Due sequenze uguali che si ripetono e periodicamente vengono sfasate l'una rispetto all'altra.
Il compositore ci mostra altro esempio di rappresentazione:  Steve Reich - Clapping Music (Scrolling)

So che ci sono modi classici per rappresentare un ritmo, per esempio

però mi lasciava scontento il fatto che una sequenza che si ripete sia rappresentata in una forma lineare.

John Varney ci suggerisce un modo diverso, interessante ed efficace per rappresentare un ritmo.

Nel laboratorio di matematica chiedo ai partecipanti di trascrivere nella forma indicata da Varney il ritmo che hanno "scritto" prima. Usiamo un'asta rotante come lancetta.

Chiedo ai partecipanti di usarlo un po', magari suggerisce come articolare il ritmo iniziale.
L'asta è attaccata a un motore Lego; Fabio ha realizzato le preziose scatole lignee che contengono il tutto (motore e batteria). I due cavetti terminano con morsetti a coccodrillo: per attivare il motore si collegano i due morsetti. 

Dopo che i partecipanti hanno preso confidenza con il dispositivo e il tipo di rappresentazione, faccio  ascoltare i due brani seguenti per confrontare i ritmi:

Per quanto di genere molto diverso, hanno lo stesso ritmo. La differenza sta nella velocità del ritmo, nel suo bpm (beat per minute).

Come possiamo ottenere una velocità diversa con la nostra asta rotante, senza aumentare la velocità di rotazione del motore? Cioè, come possiamo modificare la rappresentazione per ottenere p.es. una velocità doppia? o metà?


Una rappresentazione circolare dei ritmi viene usata nella musica tradizionale eseguita dalle orchestre Gamelan dell'Isola di Bali, vedi  Marcia Ascher, Etnomatematica, Bollati Boringhieri, cap.3-Cicli temporali

Chi è il mio vicino?

Sto preparando un percorso nuovo per il laboratorio di matematica e sono andato a riguardare gli automi cellulari, che potrebbero prestarsi ad essere sperimentati dai visitatori.
Ho incontrato questa app: La parabola dei poligoni, che mostra un esempio di come scelte apparentemente innocue possano avere effetti inaspettati e inquietanti.

Una delle realizzatrici è l'ottima Vi Hart, che tanti video di matematica ha prodotto.

Aspettando il giorno del pi greco

Mercoledì 14 marzo è il giorno del pi greco (π),  o, meglio, è il Pi Day: l'uso dell'inglese è d'obbligo, gli anglosassoni scrivono la data mettendo prima il mese e poi il giorno, quindi il 14 marzo viene scritto 3.14, voilà il pi greco!

Il primo Pi Day è stato festeggiato all'Exploratorium di San Francisco nel 1988, inventato dal fisico Larry Shaw. Da allora, ogni anno un numero sempre crescente di università, musei, istituzioni, scuole ricordano  questo numero speciale e al tempo stesso familiare: tutti lo incontriamo almeno una volta nella vita quando impariamo a calcolare la lunghezza della circonferenza.
Anche al museo abbiamo deciso di festeggiarlo, all'interno del nuovissimo laboratorio di matematica.
Ecco la scaletta dei temi che in vario modo presentiamo.

Dato che pi greco è strettamente legato al cerchio, Alessandro Locatelli, maestro di origami, ha proposto di realizzare un cerchio/spirale a partire da un rettangolo, un foglio A3.

 qui lo schema per realizzarlo (con un solo giro) a partire da un foglio A3

Per approfondire la conoscenza del numero, facciamoci una passeggiata/corsa lungo le sue cifre decimali con una specie di gioco dell'oca: chi arriva più lontano?

Usiamo un dado a 10 facce e un tabellone con una lunga fila di caselle disposte a spirale: ogni casella ospita una cifra decimale di pi greco.
I partecipanti partono da "3,"; ognuno tira il dado e si sposta in avanti fino a quando incontra la cifra indicata dal dado.
Il gioco è a tempo: all'inizio si stabilisce la durata del gioco e vince chi è arrivato più lontano allo scadere del tempo.

Che cosa c'è nelle cifre decimali di pi greco? un sacco di cose, per esempio la mia data di nascita, ma anche la tua, quella di Stefano, di Fabrizio, di Patrizia, di .... In questo sito http://www.subidiom.com/pi/ si può cercare una stringa di numeri all'interno dei primi due miliardi di decimali. Lo usiamo abitualmente in attività con le scuole; finora ho sempre trovato tutte le stringhe di 8 cifre che ho cercato, quindi tutte le date di nascita, mentre con 9 cifre l'esito non è sempre garantito.

I 2 miliardi di decimali presenti in quel sito non sono nulla in confronto alle infinite cifre di pi greco e neppure in confronto alle cifre calcolate fino ad oggi: Scoperta la 2 000.000.000.000.000ma cifra di pi greco: è uno 0 , cioè sono stati calcolati i primi 2 milioni di miliardi di cifre decimali!
Ma non ci servono tutte, anche volendo essere molto precisi nel calcolo: ne bastano 39, How many digits of Pi do you need?


Un "metro" a nastro in unità di pi permette di misurare direttamente il diametro di tubi, alberi, e simili oggetti cilindrici: How to Use a Diameter Tape - Texacone



Ci sono formule per calcolare Pi greco: ne troviamo un po' alla voce di wikipedia. E ci sono procedure interessanti.

In Seeing Theory: Point Estimation vediamo come usare il metodo Montecarlo. Volendolo fare noi personalmente, con una attività concreta, che cosa usare come punti? magari i buchini lasciati dalle freccette?

Calculating Pi with Darts

Forse non è così comodo, anche se divertente. E' più comodo usare altro, piccoli oggetti che sparpagliamo sul tabellone con quadrato e cerchio inscritto: coriandoli, piccole ranelle metalliche, lenticchie. Qualcosa di cui conosciamo già prima il numero totale, così non dobbiamo perdere tempo a contare sul momento il totale ma conteremo solo i punti fuori dal cerchio.
Possiamo conoscere il totale o perchè il numero è riportato sulla confezione di quel che usiamo (p.es. le ranelle metalliche) o perchè abbiamo contato prima un campione degli oggetti (p.es. lenticchie o coriandoli).
Ho preparato insiemi di 1000 lenticchie procedendo a peso. Prima ne ho contate 500, poi le ho pesate, ho raddoppiato il peso e ho ricavato tanti mucchietti con quel peso (con le mie lenticchie 26,72 grammi): ecco tanti mucchietti da circa 1000 lenticchie l'uno (è vero che ho usato lenticchie piccole, ma non credevo che in mezzo chilo ce ne fossero così tante!).
La prova con i visitatori ha messo in evidenza che è davvero difficile distribuire a caso le lenticchie, cioè abbiamo trovato la stessa difficoltà messa in evidenza nel video. E non ho trovato un modo furbo per risolvere il problema.

Un'altra procedura interessante usa il metodo di Buffon, come ci mostra questo video in cui si utilizzano fiammiferi.

Pi and Buffon's Matches - Numberphile

Questo metodo ha funzionato proprio bene. Ho preparato quattro tabelloni e dato 100 fiammiferi a tabellone. Ogni volta abbiamo calcolato la media dei quattro risultati ed è stata sempre confortevolmente vicina al classico 3,14!

Qui ci sono approfondimenti sul metodo:
Buffon's Needle Problem
Buffon's Needle Problem


Pi greco è spesso attorno a noi. Un articolo scientifico del 1996 aveva prospettato che avesse a che fare anche con i fiumi, con il rapporto fra la lunghezza effettiva di un fiume e la distanza in linea d'aria fra la sua sorgente e la foce: Pi me a River - Numberphile. Una ipotesi interessante, dopotutto i fiumi fanno anse che possono assomigliare ad archi di circonferenza.
Ma recentemente si è visto che non è così: A meandering tale: the truth about pi and rivers, James Grime.


Pi greco in musica, per veri musicisti e/o veri nerd:
Pi Prog Rock - Numberphile
Sounds of Pi - Numberphile
Il mio collega Paolo, valente musicista, mi ha detto che "giocano sia sugli aspetti numerici dei tempi musicali che sulle distanze cromatiche tra le note in una specifica tonalità." immaginando che io capissi.

Per gli altri, nell'album Aerial Kate Bush interpreta un brano intitolato "π", anche se ascoltatori attenti hanno subito trovato qualcosa che non va!
   Pi, by Kate Bush, lyrics
   Kate Bush sings Pi (incorrectly)


Ultima annotazione. In inglese Pi si pronuncia come Pie, torta, quindi per tradizione nel Pi Day non mancano le torte, tutte rigorosamente con un riferimento a π, a 3,14, ...
Purtroppo noi non possiamo offrire torte in laboratorio! Peccato; beh, fatevene una:

Triple Berry Pi Day Pie

Una lampada geometrica

Questa è la lampada realizzata da Linda Giampieretti con una penna 3D, inserendo l'uno nell'altro solidi e solidi platonici. Linda è una grande esperta nell'uso della penna 3D per lo studio della geometria solida e ci ha preparato un bellissimo percorso sull'argomento che sarà svolto nel nascente laboratorio di matematica.

Linda ci aveva introdotto all'argomento qualche tempo fa, conducendo un'attività con i visitatori che aveva colpito molto (vedi Disegnare nell'aria). E' stato naturale rivolgersi a lei per preparare il percorso, che proveremo prima con qualche classe "cavia" per prenderci la mano.

E nell'occasione anche i suoi studenti ci hanno fatto un regalo: dato che l'aspetto del laboratorio richiamerà un bar hanno realizzato sei sottobicchieri su cui sono disegnati i ritratti di sei matematici.

Questa è la pagina facebook che raccoglie le esperienze di Linda : Fascinating World of Geometric Forms
e questi un paio di suoi articoli:
La penna 3D, imparare costruendo e manipolando le figure geometriche
Con la penna 3D gli studenti potranno“toccare” la geometria (non solo immaginarla)

A spirale con lo specchio

Continua la preparazione delle attività per il nuovo laboratorio di matematica e sto pensando come pasticciare con le figure geometriche. Mi attirano le spirali.
All'inizio di questo video si vede il modo usuale per disegnare una buona approssimazione di spirale logarirmica

Wood Shells - A New Art Form 

prima si disegna un insieme di raggi equispaziati e poi con una squadretta si traccia la perpendicolare da uno dei raggi al successivo, dove identifica un punto su cui si mette la squadretta per tracciare il successivo segmento di spirale, e così via (non è indispensabile usare un angolo di 90°, si potrebbe usare un angolo diverso modificando la rapidità con cui la spirale si avvolge, l'angolo di 90° è comodo perchè si usa la squadra).
Ho provato a modificare questo metodo utilizzando un dispositivo con uno specchietto

il dispositivo è un'asta/righello di legno su cui sono piantati due chiodi, che fanno da mirini; fra i due chiodi c'è uno specchietto (per semplicità ho messo lo specchietto a 45° rispetto all'asta)

come nel modo usuale disegno prima i raggi: nella nostra prova ne ho disegnati 16 (prima ho disegnato un diametro e poi con il compasso ho diviso ripetutamente gli angoli in due)
ho messo al centro una piccola asta di mira che rappresenta il centro della spirale

(mi ha aiutato Francesco, che compare nelle foto)

appoggio l'asta a cavallo di un raggio, l'asse verticale a metà dello specchietto deve essere sul raggio: qui c'è il punto di partenza del segmento di spirale
traguardo i due mirini e ruoto l'asta fino a quando l'immagine dell'asta al centro risulta allineata ai mirini

 
traccio una linea dal punto di partenza al raggio successivo e via così per i raggi successivi.
Per disegnare sul foglio questo sistema non presenta un gran vantaggio ma penso che possa essere utile per disegnare una grande spirale in una stanza o in un giardino, piantando un'asta verticale al centro, tenendo il dispositivo all'altezza degli occhi, traguardandolo e spostandosi di un passo per volta. 

Per la spirale di Archimede è tutto più semplice.
Prendiamo un tenero veicolo, leghiamolo con un guinzaglio a un palo (non credo che soffra) e vediamo che succede quando lo muoviamo:

E se diamo al veicolo la possibilità di sentire l'ambiente circostante (grazie al pannellino solare sente l'intensità della luce) e di effettuare una registrazione (lascia cadere sabbia dal contenitore) ecco che la spirale diventa una fonte di informazioni (otteniamo qualcosa che assomiglia al classico disco di vinile)

Tubetti rotanti!

Stiamo preparando il laboratorio di matematica, che sarà attivo dal prossimo anno scolastico. Uno dei percorsi esplorerà il sincronismo e fenomeni collegati e stiamo già realizzando i dispositivi utili. Una delle attività riguarderà i tubetti in rotazione, ecco le nostre prime prove:

Al rallentatore:

Abbiamo usato un tubetto da elettricista in pvc di 2,5 cm di diametro lungo 10 cm (4 volte il diametro).

Il fenomento è ampiamente discusso nel video dell'ottimo Tadashi Tokieda Strange Spinning Tubes.

Bastano due graffette e una striscia di carta

Cerco materiale per attività che mostrino legami fra forme e azioni, come una forma (o disposizione geometrica) particolare possa definire il risultato di una azione, per esempio che cosa possiamo ottenere muovendo attorno a uno o più punti fissi alcune barre rettilinee attaccate l'una all'altra (viene indicato come linkage). Del tutto casualmente ho trovato questo video che non c'entra nulla con le mie barre ma è veramente spiazzante.

Perplexing Paperclips - Numberphile 

Ovviamente conto di utilizzarlo, anche se non so ancora bene in quale contesto.

Disegnare nell'aria

Durante la domenica del nostro week end dedicato alla matematica (12-13 marzo 2016) la Tinkering Zone è stata invasa da strani manufatti.

Da una parte, col nostro immarcescibile Enrico, opere all'uncinetto che descrivevano strane superfici
(http://lavorincorso-museoscienza.blogspot.it/2014/10/matematica-alluncinetto.html),
dall'altra con Linda si disegnavano solidi geometrici con le nostre penne 3d
(http://lavorincorso-museoscienza.blogspot.it/2013/02/una-penna-dal-tratto-solido.html).

Questa sui solidi geometrici era un'attività che abbiamo portato al museo per la prima volta e siamo molto soddisfatti. Qui sotto ho raccolto un po' di foto di quanto prodotto.

 

La nostra ospite, Linda Giampieretti, è una giovane matematica laureatasi presso l'Università degli Studi di Bologna, che porta avanti da un paio di anni un progetto sull'insegnamento della geometria solida con la penna 3D e presso musei e scuole tiene workshop e corsi di formazione sull'uso di questo strumento in ambito didattico.

Questa è la pagina facebook che raccoglie le sue esperienze : Fascinating World of Geometric Forms

e questi un paio di suoi articoli:

"La penna 3D, imparare costruendo e manipolando le figure geometriche"- Indire

"Con la penna 3D gli studenti potranno“toccare” la geometria (non solo immaginarla)"-
Startupitalia - Ischool Education - Il futuro della scuola 

Una slot machine fatta in casa

Ecco  una delle slot machine che abbiamo costruito per un laboratorio sul gioco d'azzardo. E' di taglio molto classico e riproduce una macchina a tre rulli con 9 figure per ogni rullo tra le quali una sola figura vincente: ogni "rullo" è una fila di 8 LED rossi e 1 LED bianco centrale, il vincente.
Un pulsante START aziona la macchina che dopo circa 3 secondi di luci e suoni fa apparire la configurazione finale. 1 LED vincente paga quanto si è  puntato, 2 LED vincenti pagano 10 volte la puntata, 3 LED vincenti pagano 100 volte la puntata. Il pulsante STOP interrompe il ciclo automatico di luci e suoni e fa comparire subito la configurazione finale.
Abbiamo messo anche un pulsante chiamato RANDOM, che fa comparire la configurazione senza iniziare il ciclo di luci e suoni, ma alla fine non lo usiamo con i partecipanti.

Il funzionamento della slot machine è gestito da un Arduino Mega.

Per una maggiore comodità è stata pensata con l'alimentazione a batteria, una 9V, ma non ci è venuto in mente di misurare l'assorbimento del tutto con il risultato di scoprire, mentre le stavamo usando con le classi, che dopo un'oretta di funzionamento la batteria è già insufficiente: Francesco ha dovuto fare un intervento volante e mettere l'alimentazione a rete, ma è una soluzione poco elegante e poco comoda che dobbiamo ripensare presto.

Il laboratorio sul gioco d'azzardo rientra nel progetto MathInside, ed è realizzato in collaborazione con ricercatori del Laboratorio FDS  del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano.

Matematica a maglia

Abbiamo imparato a lavorare all'uncinetto per realizzare forme geometriche interessanti (vedi qui e qui), anche se il più del lavoro è stato fatto dalle insegnanti che hanno davvero realizzato una barriera corallina.
Ho trovato che anche la maglia permette di esplorare forme geometriche e relazioni matematiche, ma per il momento non so lavorarci: Gli intrecci imprevisti tra matematica e lavoro a maglia su Le Scienze offre una bella rassegna.

I riferimenti sono a The Home of Mathematical Knitting  nel sito di Sarah-Marie Belcastro  e alla Mathematical Knitting Network.

Borromean ring of Moebius strip, http://www.toroidalsnark.net/mkss3-pix/borromean.html

Binary bonsai, http://www.toroidalsnark.net/mkss3-pix/binarybonsai.html

La seconda immagine è tratta da Botanica mathematica - a textile taxonomy of mathematical plant forms, un blog non molto aggiornato (l'ultimo post è del novembre 2014) ma interessante.
   
Un libro di riferimento: Making Mathematics with Needlework: Ten Papers and Ten Projects, edited by Sarah-Marie Belcastro and Carolyn Yackel   

Piegature in azione

Cercando esempi di materiali attivi o smart ho trovato che Origami could lead to tunable materials : piegare in modo opportuno un foglio dà al materiale proprietà interessanti. Nella pagina c'è un video che mostra esempi di piegature e la parte del leone la fà la piegatura di Miura (Miura fold), o, meglio, la Miura-ori. E contemporaneamente o quasi trovo che un ricercatore della NASA ha realizzato un sistema di piegatura dei pannelli fotovoltaici dei satelliti che sfrutta proprio la piegatura di Miura: Solar power, origami style e La Nasa brevetta pannelli solari ispirati all'arte dell'origami. Del resto Koryo Miura ha introdotto quel tipo di piegatura proprio per risolvere il problema di piegare i pannelli fotovoltaici dei satelliti.

Ecco "come funziona" la piegatura di Miura classica
 

Miura fold

Un paio di tutorial mi hanno insegnato come realizzarla:

Miura fold , how to ,  la ripresa non è un granchè e usa un qualunque foglio (a righe!) ma è molto chiaro

Making the Miura fold , usa un foglio da origami, è chiaro ma non mette in evidenza il parallelismo di alcune pieghe.

Wikipedia poi mi ha dato un po' di notizie di base: Miura fold.

Un video che indica how to create your own folding map or whatever else that has to be folded presenta una variante che usa necessariamente un foglio quadrato.
E la piegatura che avevo visto per prima? Eccola insegnata nel Miura-Ori Origami Tessellation Tutorial (dove ogni tanto l'immagine va fuori fuoco, ma si capisce bene lo stesso).

A questo punto ho cominciato a trovare piegature di Miura ovunque. Anche per piegare una mappa:
The Miura Fold Is How You'd Fold a Map if You Were Awesome.
E non ha a che fare con la piegatura di Miura, ma questo metodo per piegare una mappa mi sembra molto utile: How to Fold a Topographic Map and Other Techniques (nota: dopo che all'inizio mostra come "funziona" la mappa piegata passa un sacco di tempo prima che mostri come piegare la mappa nel modo furbo: quindi guarda i primi 2:30 minuti e poi vai al minuto 8).

Piegature opportune e materiali con memoria permettono di realizzare oggetti che si assemblano da soli:
Self-Assembling Objects - at Home
Watch A Paper Robot Fold Itself Into Existence ...And Walk Away _ The Creators Project

Matematica all'uncinetto

Abbiamo cominciato con la Notte dei ricercatori, venerdì 26 settembre, e continuato il sabato e la domenica successivi. Abbiamo realizzato all'uncinetto piani iperbolici, semplici e doppi, e pseudosfere, colorati, grandi e piccoli. Abbiamo chiacchierato e scambiato informazioni, e consigli. Il lavoro all'uncinetto ci è piaciuto.

Ne avevo parlato in un post precedente e in questi giorni abbiamo proposto l'attività ai visitatori del museo. Abbiamo ricevuto molti aiuti. Laura Soria dell'Associazione Freeform Uncinetto Italia ci ha prestato la barriera corallina realizzata insieme a un centinaio di sue allieve fornendoci così esempi e spunti. Selene e le sue amiche del gruppo delle Ammagliatrici hanno donato turni di presenza volontaria per realizzare le forme e accogliere i visitatori, spiegando come fare e insegnando le basi a chi non ne sapeva niente, così come hanno fatto tante insegnanti dall'animo curioso e giocherellone. Marco, che ha insegnanto per anni matematica, ha raccontato che cosa sono le geometrie non euclidee e che legame ci sia fra di loro e le nostre realizzazioni all'uncinetto.

al lavoro nel chiostro del museo

 immagini prese dalla pagina facebook delle Ammagliatrici

una piccola porzione della barriera corallina di Laura Soria e delle sue allieve

Matematica all'uncinetto

Mentre preparavo un corso di matematica per insegnanti ho trovato l'indicazione che il modo migliore per rappresentare un piano iperbolico è realizzarlo all'uncinetto. L'idea venne a Daina Taimina una quindicina di anni fa e da allora si è diffusa e arricchita.

Questa è una porzione di piano iperbolico realizzata da Carla, e qui sotto la pseudosfera di Carla e quella realizzata da Selene

 Come si vede, cambiare il tipo di lana e mantenersi più o meno compatti cambia un po' l'aspetto finale, anche se la forma di base resta quella.

Io non so lavorare all'uncinetto, e mi pongo come obiettivo imparare a farlo entro agosto, ma ho incontrato varie persone che lo sanno fare e che sono interessate. L'idea è di realizzare un modello di barriera corallina con un lavoro comune che inizi venerdì 26 settembre durante la notte dei ricercatori e prosegua il sabato e la domenica successivi, seguendo il progetto Hyperbolic Crochet Coral Reef.

Vogliamo dare anche un po' di sensibilità alla nostra barriera inserendo qui e là alcuni sensori che provocano qualche comportamento sensato per i coralli: dobbiamo pensarci un po' ma non ho dubbi che Francesco sia in grado di costruire qualunque dispositivo sia efficace, usando la sua fedele scheda Arduino.

Ecco qualche riferimento per entrare nell'argomento:
una indicazione dei punti è in "Uncinetto iperbolico, alcuni modelli di Daina Taimina" nel blog Cosmosicula's Creations,  pagina facebook https://www.facebook.com/pages/Cosmosiculas-creations/321130574573590
"L’uncinetto iperbolico: il ruolo fondamentale dell’uncinetto in una scoperta scientifica." nel blog Crochet Circus
Crocheting the Hyperbolic Plane : un articolo matematico
Learning to Hyperbolic Crochet  
Daina Taimina, nel sito della Cornell University
Daina Taimina, Discoverer of Hyperbolic Crochet      

I misteriosi flessagoni

Mentre stavamo preparando un corso per insegnanti sulla matematica ho ricevuto la nuova newsletter di Jearl Walker e del suo Flying Circus of Physics, tutta dedicata ai flessagoni, divertenti creaturine di carta che nascondono qualche sorpresa.

Hexaflexagon di Vi Hart

Le immagini scorrono velocissime, guardiamo qualcosa di fermo: http://www.mathematische-basteleien.de/flexagons.htm e http://britton.disted.camosun.bc.ca/hexahexa/hexahexa.html .

I flessagoni hanno incuriosito anche Richard Feynman (quindi sono autorizzato a giocarci, cioè, volevo dire, a studiarli). Un secondo video di Vi Hart mostra la realizzazione di diagrammi di Feynman per registrare le sequenze di uscita delle facce di un flessagono.Vi Hart ci dà un aiuto in più con la sua Hexaflexagon Safety Guide.

Per semplificarci la vita abbiamo disegnato le due strisce a 10 e 19 triangoli, ma ci sono vari modelli di flessagoni, di tutti i tipi. C'è anche un modello che ha un volume, dal sito del grande Arvind Gupta.  

Salva lo snack: una classe riesce a creare un packaging efficacissimo

Qualche tempo fa avevamo invitato le scuole a partecipare al concorso Salva lo snack, in cui chiedevamo di
far arrivare sana e salva una patatina al Museo, costruendo una confezione che fosse efficace e allo stesso tempo leggera e poco ingombrante.

I ragazzi della 2C dell'IC di Carnate hanno risposto con un bellissimo lavoro.

In classe hanno utilizzato le loro competenze nell'ambito dei vettori e della composizione chimica dell'aria per risolvere questo problema molto concreto.

Ci è piaciuto il loro modo di provare tante soluzioni diverse, studiandone i pro e i contro.

E poi il modo in cui alcune "nozioni" curricolari sono state integrate in un ragionamento applicato al mondo vero e quotidiano.

Ecco alcune immagini del pacchetto che ci hanno mandato:


Il pacchetto arriva avvolto in due buste.

Il pacchetto è davvero molto resistente e pesa solo 95 grammi.

All’interno del pacchetto la patatina è ulteriormente protetta da lamelle di alluminio, che estraiamo grazie ad un’ingegnosa e molto ben indicata apertura.

Il concorso è stato realizzato nell’ambito del progetto europeo Pathway.

Ancora crepe

Prosegue l'esplorazione delle Crepe.   Mi ricordavo un vecchio articolo che Jearl Walker scrisse nella rubrica "La scienza in casa" della rivista Le Scienze. Stefano ha l'intera raccolta della rivista e me lo ha ritrovato (bravissimo!): "Le crepe che si formano su una superficie sembrano casuali, ma in realtà seguono delle regole", Le Scienze, gennaio 1987, n.221. 
Identifica due tipi principali di reti di incrinature: una è quella che si forma sulla superficie del fango che secca, delle vernici, della maizena, dell'asfalto, l'altra è quella che si è formata in antiche colate laviche, per esempio la Giant's Causeway in Irlanda.  
Il primo tipo può essere ulteriormente suddiviso in sottoclassi, ma senza entrare troppo in dettaglio si vede che spesso le incrinature si incontrano fra loro con angoli ben definiti e ricorrenti:  generalmente 90° o 120°, se non ci sono un bordo o qualche altra discontinuità troppo vicini (vedi anche Playground Patterns of Cracks, una proposta di esplorazione delle crepe dei marciapiedi). 
Riguardo a quel che accade quando il fango o la miscela di acqua e maizena seccano, la crepa si forma in conseguenza di tensioni della superficie, iniziando da un cedimento in un punto e sviluppandosi in lunghezza.

le forze di tensione si concentrano nel vertice della crepa, diventando molto più intense che nelle altre zone e provocando la rottura del materiale al vertice e l'allungamento della crepa stessa (questi e i prossimi schemi sono tratti dall'articolo di Walker).

Walker scrive: "Una fonte di queste forze è la tensione superficiale dell'acqua tra i granuli. A mano a mano che questa evapora, la superficie del liquido che rimane assume forma concava ed esercita una forza di attrazione sui granuli". A complicare le cose, in alcuni casi ci sono anche forze elettrostatiche che si generano fra le superfici dei granuli e le molecole dell'acqua che si trova fra di esse.  

Il reticolo si genera o perchè si forma una nuova crepa lungo una vecchia 

o perchè una, allungandosi e propagandosi nel materiale, ne interseca una già formata 

Se lo vediamo in altre situazioni, il reticolo di incrinature può dare un senso di antico, e per questo viene usato per "invecchiare" un mobile o un dipinto nella tecnica detta craquelè. La mia consorte mi ha detto che avevamo scelto quel tipo di piastrelle anche perchè dopo un po' avrebbero avuto un aspetto più vissuto, "anticato": io non me lo ricordavo per niente (può essere un indizio sullo stato della mia memoria o sul mio grado di coinvolgimento nella scelta delle piastrelle). Quindi mi immagino che lo strato superiore sia ricoperto da una vernice che formi il reticolo di incrinature. Guardando più da vicino le piastrelle ho visto che in effetti alcune hanno sviluppato una leggera rete di incrinature, però molto meno evidente di quelle sotto lo scolapiatti. Là sotto rimane  spesso un velo di acqua, e potrei immaginare che si sia formata la leggera rete che vedo in altre piastrelle e che le singole crepe siano state allargate dall'acqua. Ma non mi immagino attraverso quale meccanismo. L'acqua allarga le crepe nell'asfalto durante l'inverno quando gela e, in genere, quando scorre erode e sottrae materiale. Nel caso del fango, l'acqua che evapora crea tensioni che generano le rotture. Ma nel mio caso è come se l'acqua avesse generato una pressione sulle due facce di ogni crepa. Come? Mah! Non credo che la pressione idrostatica entri in gioco, parliamo di spessori minuscoli. Qualcosa sulla capillarità? 

Finisco, per il momento, sconfinando in un altro campo. L'artista Alberto Burri ha realizzato opere chiamate cretti

 Alberto Burri

Cretto G 3, 1975

http://www.artdreamguide.com/_arti/burri/_work/cretti.htm  

usando questa forma naturale anche in strutture ben più grandi di un quadro: il grande cretto di Gibellina. 

Attività matematiche

Stefano e io abbiamo riepilogato le attività riguardanti la matematica che svolgiamo o abbiamo svolto nei laboratori o nei corsi. In che senso "riguardano la matematica"? Nel senso che comportano una astrazione che richiede l'uso di uno schema o di un grafico o di simboli: insomma, è una definizione un po' vaga, ma ci basta. 

Stefano cura il laboratorio di robotica. Una attività utile per i visitatori è analizzare una azione e descriverla con un algoritmo, magari in forma di flow chart, in modo da poter programmare un robot (tipicamente il Lego Mindstorm). Ma si  è interessato anche di comportamenti emergenti: 
"Un comportamento emergente o proprietà emergente può comparire quando un numero di entità semplici (agenti) operano in un ambiente, dando origine a comportamenti più complessi in quanto collettività. La proprietà stessa non è predicibile e non ha precedenti, e rappresenta un nuovo livello di evoluzione del sistema. I comportamenti complessi non sono proprietà delle singole entità e non possono essere facilmente riconosciuti o dedotti dal comportamento di entità del livello più basso. La forma e il comportamento di uno stormo di uccelli o di un branco di pesci sono buoni esempi."
Una azione definita da regole molto semplici può generare una situazione complessa o che sembra essere stata programmata in anticipo: per far provare direttamente che cosa vuol dire, Stefano ha messo a punto il gioco delle termiti  . Rientra nella famiglia degli automi cellulari, che possono essere esplorati nel sito di Umberto Cerruti Math News (è in italiano)  nel Laboratorio di vita artificiale ZAC 

E' un comportamento emergente anche il lampeggiare sincronizzato di una varietà di lucciole, alcune delle quali vivono negli Appalachi, una catena montuosa fra Stati Uniti e Canada: ecco un video . Ian Stewart indica un gioco che può far capire quel che succede in "Lucciole impazzite", un capitolo di "Come tagliare una torta", Einaudi, p.144: il gioco è chiamato Flash (qui una breve descrizione) 

Io invece ho preparato attività in cui bisogna descrivere una azione con uno schema o un grafico: per esempio,  descrivere un ritmo in modo che qualcun altro possa riprodurlo 

Adesso dobbiamo pensare nuove attività. Vi terremo informati.