Questo blog è una specie di diario di lavoro che riporta brevi annotazioni riguardanti quello su cui stiamo lavorando, quel che stiamo preparando, siti e video interessanti che abbiamo trovato, magari cercando altro.
Dopo aver pubblicato L'apparenza di oggetti rotanti ho trovato altre cose legate all'argomento, un po' girovagando per il web un po' parlando con colleghi.
La vecchia tecnica fotografica usata nel fotofinish per determinare con grande precisione l'ordine e i tempi di arrivo degli atleti in una gara (che siano centometristi o ciclisti) richiama l'acquisizione di una immagine per mezzo di una scansione perchè l'immagine viene "letta" attraverso una linea definita dalla fenditura del dispositivo: Fotofinish: ecco come funziona e come viene usato per misurare i tempi e Fotofinish da wikipedia.
Ci si può giocare anche senza avere chissà quali apparecchi: basta uno smartphone. Ho scaricato da Play Store la app Slit Scan Camera e ho provato a riprendere questo artistico manufatto
facendolo ruotare per terra.
Ecco alcuni risultati:
C'è anche un'altra app dello stesso tipo, camXSS, ma preferisco la prima.
Fabrizio mi ha indicato una installazione interattiva che usa una tecnica simile: Liminal, di Louis-Philippe Rondeau.
Pietro, che ne sa tante, mi ha spiegato che negli anni 60/70 alcuni artisti hanno esplorato le possibilità delle fotocopiatrici del tempo, fondando la cosiddetta Xerox art. Una delle tecniche usate era muovere il foglio con un disegno quando la barra della fotocopiatrice raggiunge il disegno, proprio come ho fatto io con lo scanner; del resto entrambi i dispositivi fanno una scansione. Su Pinterest si trovano immagini in Xerox Art and Scanography. Una trattazione più articolata è nel libro Xerox Art, che dovrò procurarmi.
Ho una grande passione per gli oggetti che ruotano, dalle trottole ai frisbee ai poi (non sapete che cosa sono i poi? ahi ahi, beh date un'occhiata qui e qui). Ovviamente appena in circolazione ho preso i fidget spinner anche se non mi sono mai impegnato a imparare nemmeno gli esercizi più semplici.
Dato che ruotano velocemente, gli spinner permettono di vedere bene effetti stroboscopici, che hanno a che fare con il sincronismo fra ritmi e il campionamento: basta riprenderli con la videocamera del cellulare, che registra 30 immagini al secondo (frame per second, fps). Quindi ci sono in gioco la frequenza di rotazione dello spinner e la frequenza di acquisizione immagini della videocamera.
Si vedono bene un paio di effetti. A un certo punto la rotazione si inverte, verso la fine si vedono più braccia delle tre che ha lo spinner (in effetti si notano di più i buchi che stanno nelle braccia).
In realtà il video non è mio. Questo post è pubblicato nel periodo di isolamento causato da Covid 19. Lavoro da casa e non ho sottomano i miei spinner (e neppure la collezione di trottole) che sono rimasti in museo. Ho chiesto l'aiuto della mia collega Valeria e del suo figliolo Pietro, che mi/ci ha prestato il suo: il video e le foto sono loro. Grazie!
Però in certi momenti si vede anche qualche deformazione nella forma dello spinner. Allora Valeria ha scattato immagini a ripetizione mentre lo spinner ruotava e queste due sono significative:
gli angoli fra le braccia sono sbagliati,
la dimensione di un braccio è maggiore di quella degli altri due.
Questo non ha a che fare con l'effetto stroboscopico. E se avesse a che fare con il modo in cui viene registrata l'immagine dalla fotocamera?
Le fotocamere digitali non registrano in un colpo solo l'immagine che cade sul sensore. Questo è quel che avveniva nelle macchine fotografiche a pellicola dotate di otturatore centrale: l'otturatore si apriva e la luce colpiva tutta la superficie del fotogramma per la durata del tempo impostato dal fotografo.
Le fotocamere digitali acquisiscono le intensità luminose dell'immagine che cade sul sensore una linea per volta, eseguendo quindi una scansione dell'intera immagine. Questo avviene molto velocemente e in genere non ci sono problemi (anche le macchine fotografiche con otturatore a tendina eseguivano sostanzialmente una scansione dell'immagine).
Però lo spinner gira molto velocemente e in certi momenti il movimento delle braccia avviene con una velocità paragonabile a quella con cui avviene la scansione. Se il braccio si muove nello stesso senso della linea di scansione, con la stessa velocità o quasi, e si trova in corrispondenza della linea di scansione allora ci resta più tempo del normale. Se invece si muove in direzione opposta ci resta meno tempo.
I tempi di scansione della fotocamera sono troppo rapidi per poterci giocare un po' e vedere bene quel che succede, bisogna limitarsi a immagini pescate a caso. Però un altro dispositivo esegue la scansione di una immagine, e con velocità decisamente minore: lo scanner.
Usiamolo per vedere che cosa succede quando la velocità di scansione e la velocità dell'oggetto ripreso sono simili.
per comodità ho tolto il coperchio dello scanner
Ho disegnato una immagine, l'ho appoggiata sul piano dello scanner, l'ho attivato e mentre passava la barra che esegue la scansione ho ruotato il foglio con l'immagine.
La prima immagine che ho provato aveva molte curve:
ecco un paio di risultati
e con una rotazione prolungata e un poco di traslazione:
La seconda immagine di prova aveva elementi rettilinei
ed ecco qualche risultato:
Naturalmente è possibile anche traslare il foglio mentre lo si ruota (un po' lo devo aver fatto anch'io), si può fare più di un giro, e così via.
Le attività dell'i.lab Matematica partono solitamente dal riferimento a una situazione quotidiana, mostrata da immagini o video (in genere presi da YouTube). A volte partono da una discussione fra i partecipanti che elencano situazioni in cui ritrovano il tema dell'attività. L'idea di fondo, non molto originale, è che la matematica sia ovunque attorno a noi. Per questo la cerchiamo anche nel museo, durante una visita guidata.
L'oggetto che ci aiuta a mettere a fuoco l'attenzione sulla matematica nascosta è la girante Pelton
E' un oggetto semplice, molto evidente, e gli studenti fanno osservazioni che possiamo ricapitolare così:
E' rotonda! Una forma molto utile se devo avere un movimento continuo su tempi lunghi.
Ha una simmetria di rotazione. Uno stesso elemento, il "cucchiaio", è ripetuto ad angoli costanti. Sono angoli scelti in modo furbo per far stare un numero intero di "cucchiai" nel cerchio della girante (c'è una quantizzazione).
La forma dei cucchiai è studiata in modo da ricavare il massimo di energia meccanica dall'acqua (cioè da trasformare la maggior quantità possibile di energia cinetica dell'acqua in energia di rotazione della girante e di conseguenza energia elettrica dal generatore).
C'è una proporzionalità diretta fra l'energia dell'acqua e l'energia elettrica che se ne può ricavare; non tutta l'energia dell'acqua si trasforma in energia elettrica.
L'acqua ha un movimento rettilineo ma la girante, appunto, gira: il movimento viene trasformato.
La girante ci dà quindi l'opportunità di mettere in evidenza
_la simmetria
_gli angoli
_il legame fra forma e funzione
_la proporzionalità
_la trasformazione del movimento.
Ora possiamo cimentarci con un oggetto decisamente più articolato: la locomotiva Gr-691.
La richiesta che l'animatore fa ai partecipanti è di trovare, in prima battuta, gli elementi matematici che avevano osservato nella girante, senza escludere la possibilità di trovarne di nuovi. La locomotiva si presta alle nostre indagini perchè è abbastanza complessa e le sue parti principali sono a vista; apparati più moderni nascondono in contenitori chiusi parti importanti per il loro funzionamento.
Alcuni elementi sono più evidenti: la simmetria, la forma circolare, la trasformazione del movimento (con il sistema biella-manovella). Altri vengono riconosciuti anche se sono più nascosti. La quantità di carbone immagazzinato nella sezione posteriore della locomotiva (quindi la dimensione stessa di questa sezione) è proporzionale alla distanza che bisogna percorrere, a quanti rifornimenti si possono fare durante il viaggio, alla velocità della locomotiva, al peso complessivo del convoglio. Trasportare più carbone significa aumentare il peso quindi aver bisogno di maggiore energia, quindi più carbone. Nella locomotiva può non essere un gran problema, ma i partecipanti ritrovano la stessa questione quando vedono all'esterno del padiglione ferroviario il lanciatore Vega e qui invece è un problema molto importante. Alla partenza, il peso di un razzo è prevalentemente dato dal combustibile, determinato dal peso dell'oggetto che si vuole mettere in orbita. Volendo sollevare un carico maggiore c'è bisogno di una potenza maggiore, quindi molto più combustibile, ma questo significa maggior peso che i motori devono sollevare e questo richiede molto più combustibile ... Insomma, ci sono vincoli molto stretti sul carico massimo che un razzo potrà mai portare in orbita.
C'è la possibilità di trovare matematica anche in altri punti del padiglione Ferroviario, per esempio quando guardiamo le rotaie
lo sappiamo che sono parallele fra loro, come mai le vediamo convergere?
E non trascuriamo dispositivi che potremmo considerare poco interessanti, per esempio questo apparato per azionare segnali aerei
che assomiglia molto a una spirale logaritmica: permette all'addetto di esercitare sempre la stessa forza indipendentemente dalla posizione del segnale stesso.
Sì, lo sapevo che con una serie di Fourier si può riprodurre un segnale di forma qualsiasi ma non avevo mai pensato a quanto fosse estesa questa possibilità: il video qui sotto è illuminante
Matt Parker esplora forme meno spettacolari, le figure di Lissajous, ma in modo più approfondito e mostrando come realizzarle con un dispositivo fisico:
Nella descrizione del video ci sono indicazioni su dove scaricare i fogli di calcolo che ha usato e persino che tipo di piattaforma rotante ha utilizzato.
In GeoGebra ci sono tante app sulle figure di Lissajous, per esempio Frazioni in movimento o Parker Near-missajous curve.
Trasformiamoci in falchi che puntano la loro preda. Il falco veleggia e deve mantenere costante l'assetto di volo. Ruotare la testa altera l'assetto, quindi cerca di tenerla ferma. Gli occhi sono a lato della testa. Quando punta la preda la tiene costantemente nella stessa direzione di vista.
Ci serve uno specchietto su cui disegniamo un segmento verticale. In effetti abbiamo semplicemente messo un elastico a cavallo dello specchietto.
Lo specchietto con l'elastico ci fa da mirino.
Uno stativo rappresenta la posizione della nostra preda.
Teniamo davanti al volto lo specchietto, le braccia aderenti al torace.
Ruotiamoci leggermente finchè l'immagine dello stativo che vediamo nello specchietto coincide con l'elastico. Teniamo sempre le braccia aderenti al torace.
Facciamo un piccolo passo nella direzione dell'immagine dello stativo; dopo il passo immagine ed elastico non coincidono più, ruotiamoci fino a farli coincidere di nuovo, facciamo un nuovo passo e così via.
La sequenza dei passi disegna una curva molto simile a una spirale logaritmica.
Anche molti insetti agiscono in modo simile. Volano tenendo costante l'angolo con la direzione del sole o della luna: in questo modo viaggiano in linea retta. Ma se la fonte luminosa è una lampada allora volano a spirale contro la lampada.
(vedi Logarithmic spiral, su wikipedia).
Le immagini qui sopra mostrano che abbiamo ottenuto una spirale che ci porta verso la preda. Se cambiamo l'angolo che lo specchio forma con il nostro volto potremo ottenere una spirale che si apre, cioè ci allontana dallo stativo.
Mercoledì 14 marzo è il giorno del pi greco (π), o, meglio, è il Pi Day: l'uso dell'inglese è d'obbligo, gli anglosassoni scrivono la data mettendo prima il mese e poi il giorno, quindi il 14 marzo viene scritto 3.14, voilà il pi greco!
Il primo Pi Day è stato festeggiato all'Exploratorium di San Francisco nel 1988, inventato dal fisico Larry Shaw. Da allora, ogni anno un numero sempre crescente di università, musei, istituzioni, scuole ricordano questo numero speciale e al tempo stesso familiare: tutti lo incontriamo almeno una volta nella vita quando impariamo a calcolare la lunghezza della circonferenza.
Anche al museo abbiamo deciso di festeggiarlo, all'interno del nuovissimo laboratorio di matematica.
Ecco la scaletta dei temi che in vario modo presentiamo.
Dato che pi greco è strettamente legato al cerchio, Alessandro
Locatelli, maestro di origami, ha proposto di realizzare un
cerchio/spirale a partire da un rettangolo, un foglio A3.
Per approfondire la conoscenza del numero, facciamoci una passeggiata/corsa lungo le sue cifre decimali con una specie di gioco dell'oca: chi arriva più lontano?
Usiamo un dado a 10 facce e un tabellone con una
lunga fila di caselle disposte a spirale: ogni casella ospita una cifra
decimale di pi greco.
I partecipanti partono da "3,"; ognuno tira il dado e si sposta in avanti fino a quando
incontra la cifra indicata dal dado.
Il gioco è a tempo: all'inizio si stabilisce la durata
del gioco e vince chi è arrivato più lontano allo scadere
del tempo.
Che cosa c'è nelle cifre decimali di pi greco? un sacco di cose, per
esempio la mia data di nascita, ma anche la tua, quella di
Stefano, di Fabrizio, di Patrizia, di .... In questo sito http://www.subidiom.com/pi/ si può cercare una stringa di numeri all'interno dei primi due miliardi di decimali. Lo usiamo abitualmente in attività con le scuole; finora ho sempre trovato tutte le stringhe di 8 cifre che ho cercato, quindi tutte le date di nascita, mentre con 9 cifre l'esito non è sempre garantito.
I 2 miliardi di decimali presenti in quel sito non sono nulla in confronto alle infinite cifre di pi greco e neppure in confronto alle cifre calcolate fino ad oggi: Scoperta la 2 000.000.000.000.000ma cifra di pi greco: è
uno 0 , cioè sono stati calcolati i primi 2 milioni di miliardi di cifre decimali!
Ma non ci servono tutte, anche volendo essere molto precisi nel calcolo: ne bastano 39, How
many
digits of Pi do you need?
Un "metro" a nastro in unità di pi permette di misurare
direttamente il diametro di tubi, alberi, e simili oggetti
cilindrici: How to Use a Diameter Tape - Texacone
Ci sono formule per calcolare Pi greco: ne troviamo un po' alla voce di wikipedia. E ci sono procedure interessanti.
In Seeing Theory: Point Estimation vediamo come usare il metodo Montecarlo. Volendolo fare noi personalmente, con una attività concreta, che cosa usare come punti? magari i buchini lasciati dalle freccette?
Forse non è così comodo, anche se divertente. E' più comodo usare altro, piccoli oggetti che sparpagliamo sul tabellone con quadrato e cerchio inscritto: coriandoli, piccole ranelle metalliche, lenticchie. Qualcosa di cui conosciamo già prima il numero
totale, così non dobbiamo perdere tempo a contare sul
momento il totale ma conteremo solo i punti
fuori dal cerchio.
Possiamo conoscere il totale o perchè il numero è riportato sulla
confezione di quel che usiamo (p.es. le ranelle metalliche) o perchè abbiamo
contato prima un campione degli oggetti (p.es. lenticchie o
coriandoli).
Ho preparato insiemi di 1000 lenticchie procedendo a peso. Prima ne ho
contate 500, poi le ho pesate, ho raddoppiato il peso e ho
ricavato tanti mucchietti con quel peso (con le mie
lenticchie 26,72 grammi): ecco tanti mucchietti da circa 1000
lenticchie l'uno (è vero che ho usato lenticchie piccole,
ma non credevo che in mezzo chilo ce ne fossero così
tante!).
La prova con i visitatori ha messo in evidenza che è davvero difficile distribuire a caso le lenticchie, cioè abbiamo trovato la stessa difficoltà messa in evidenza nel video. E non ho trovato un modo furbo per risolvere il problema.
Un'altra procedura interessante usa il metodo di Buffon, come ci mostra questo video in cui si utilizzano fiammiferi.
Questo metodo ha funzionato proprio bene. Ho preparato quattro tabelloni e dato 100 fiammiferi a tabellone. Ogni volta abbiamo calcolato la media dei quattro risultati ed è stata sempre confortevolmente vicina al classico 3,14!
Pi greco è spesso attorno a noi. Un articolo scientifico del 1996 aveva prospettato che avesse a che fare anche con i fiumi, con il rapporto fra la lunghezza effettiva di un fiume e la distanza in linea d'aria fra la sua sorgente e la foce: Pi me a River -
Numberphile. Una ipotesi interessante, dopotutto i fiumi fanno anse che possono assomigliare ad archi di circonferenza.
Ma recentemente si è visto che non è così: A
meandering tale: the truth about pi and rivers, James
Grime.
Pi greco in musica, per veri musicisti e/o veri nerd: Pi Prog Rock -
Numberphile Sounds of Pi -
Numberphile Il mio collega Paolo, valente musicista, mi ha detto che "giocano sia sugli aspetti numerici dei tempi musicali che sulle distanze cromatiche tra le note in una specifica tonalità." immaginando che io capissi.
Ultima annotazione. In inglese Pi si pronuncia come Pie, torta, quindi per tradizione nel Pi Day non mancano le torte, tutte rigorosamente con un riferimento a π, a 3,14, ...
Purtroppo noi non possiamo offrire torte in laboratorio! Peccato; beh, fatevene una:
Questa è la lampada realizzata da Linda Giampieretti con una penna 3D, inserendo l'uno nell'altro solidi e solidi platonici. Linda è una grande esperta nell'uso della penna 3D per lo studio della geometria solida e ci ha preparato un bellissimo percorso sull'argomento che sarà svolto nel nascente laboratorio di matematica.
Linda ci aveva introdotto all'argomento qualche tempo fa, conducendo un'attività con i visitatori che aveva colpito molto (vedi Disegnare nell'aria). E' stato naturale rivolgersi a lei per preparare il percorso, che proveremo prima con qualche classe "cavia" per prenderci la mano.
E nell'occasione anche i suoi studenti ci hanno fatto un regalo: dato che l'aspetto del laboratorio richiamerà un bar hanno realizzato sei sottobicchieri su cui sono disegnati i ritratti di sei matematici.
Continua la preparazione delle attività per il nuovo laboratorio di matematica e sto pensando come pasticciare con le figure geometriche. Mi attirano le spirali.
All'inizio di questo video si vede il modo usuale per disegnare una buona approssimazione di spirale logarirmica
prima si disegna un insieme di raggi equispaziati e poi con una squadretta si traccia la perpendicolare da uno dei raggi al successivo, dove identifica un punto su cui si mette la squadretta per tracciare il successivo segmento di spirale, e così via (non è indispensabile usare un angolo di 90°, si potrebbe usare un angolo diverso modificando la rapidità con cui la spirale si avvolge, l'angolo di 90° è comodo perchè si usa la squadra).
Ho provato a modificare questo metodo utilizzando un dispositivo con uno specchietto
il dispositivo è un'asta/righello di legno su cui sono piantati due chiodi, che fanno da mirini; fra i due chiodi c'è uno specchietto (per semplicità ho messo lo specchietto a 45° rispetto all'asta)
come nel modo usuale disegno prima i raggi: nella nostra prova ne ho disegnati 16 (prima ho disegnato un diametro e poi con il compasso ho diviso ripetutamente gli angoli in due)
ho messo al centro una piccola asta di mira che rappresenta il centro della spirale
(mi ha aiutato Francesco, che compare nelle foto)
appoggio l'asta a cavallo di un raggio, l'asse verticale a metà dello specchietto deve essere sul raggio: qui c'è il punto di partenza del segmento di spirale
traguardo i due mirini e ruoto l'asta fino a quando l'immagine dell'asta al centro risulta allineata ai mirini
traccio una linea dal punto di partenza al raggio successivo e via così per i raggi successivi.
Per disegnare sul foglio questo sistema non presenta un gran vantaggio ma penso che possa essere utile per disegnare una grande spirale in una stanza o in un giardino, piantando un'asta verticale al centro, tenendo il dispositivo all'altezza degli occhi, traguardandolo e spostandosi di un passo per volta.
Per la spirale di Archimede è tutto più semplice.
Prendiamo un tenero veicolo, leghiamolo con un guinzaglio a un palo (non
credo che soffra) e vediamo che succede quando lo muoviamo:
E se diamo al veicolo la possibilità di sentire l'ambiente circostante (grazie al pannellino solare sente l'intensità della luce) e di effettuare una registrazione (lascia cadere sabbia dal contenitore) ecco che la spirale diventa una fonte di informazioni (otteniamo qualcosa che assomiglia al classico disco di vinile)
Questa sui solidi geometrici era un'attività che abbiamo portato al museo per la prima volta e siamo molto soddisfatti. Qui sotto ho raccolto un po' di foto di quanto prodotto.
La nostra ospite, Linda Giampieretti, è una giovane matematica laureatasi presso l'Università degli Studi di Bologna, che porta avanti da un paio di anni un progetto sull'insegnamento della geometria solida con la penna 3D e presso musei e scuole tiene workshop e corsi di formazione sull'uso di questo strumento in ambito didattico.
