Le pile fragili - il gioco

Ci siamo immaginati un gioco astratto ispirato in modo diretto dagli oggetti matematici chiamati sandpile (vedi in fondo al post qualche riferimento di base). Lo abbiamo provato qualche volta e ci sembra che funzioni e prenda abbastanza. Una sessione di gioco richiede 40-45 minuti (una volta presa la mano ci abbiamo messo anche meno, sempre che non si rifletta a lungo prima di fare la propria mossa). 

Il campo di gioco è una scacchiera 6x6.

Giocano 4 giocatori, diciamo: Alice, Bruno, Carlo, Daniela.

Ogni giocatore ha a disposizione 17 pedine, di colore diverso da quello degli altri giocatori.

Il gioco si articola in 4 manches di due fasi ciascuna. 

Inizio del gioco. 

La scacchiera è vuota. Alice mette una pedina in una qualunque casella. 

Adesso tocca a Bruno giocare. Mette una pedina sulla scacchiera, secondo una delle due regole che tutti devono rispettare, da questo momento in poi.

Le due regole:

_ può mettere la propria pedina in una casella vuota, a patto che la casella abbia almeno un lato in comune con una casella già occupata

_ può mettere la sua pedina in una casella già occupata, semplicemente appoggiandola sopra la pedina già presente: l’unico vincolo è che la pedina già sulla scacchiera non deve essere una delle sue, cioè non può avere lo stesso colore di quella che appoggia. Si possono sempre aggiungere pedine a una pila di pedine già esistente, non ci sono limiti all’altezza massima della pila durante questa fase del gioco. 

Ora tocca a Carlo: mette una sua pedina sulla scacchiera secondo una delle regole dette sopra.

Poi tocca a Daniela.

Così è finito il primo giro. Ora tocca di nuovo a Alice, che deve comunque seguire una delle due regole. Poi Bruno, e così via, fino a quando ogni giocatore ha messo 4 pedine. 

Ogni giocatore ha una pedina in più delle 16 necessarie per le quattro manches. Può decidere di giocarla quando vuole, in una qualunque manche, subito dopo che ne ha appoggiata una quando è di turno oppure alla fine dei quattro giri. 

Ora inizia la seconda fase della prima manche.

Sulla scacchiera potrebbero esserci delle pile di pedine. 

una pila di 4 pedine l'una sull'altra

Le pile di pedine sono stabili fino a tre pedine l'una sull'altra: con più di tre pedine la pila è instabile e crolla. Alice, che ha iniziato questa manche, sceglie una pila instabile e lo fa crollare, seguendo la seguente regola:

nel crollo la pedina più in alto va spostata sulla casella adiacente più lontana dal giocatore 

(nella pila originaria ne rimangono 3), 

la pedina successiva va spostata sulla casella a destra (nella pila originaria ne rimangono 2)

la pedina successiva sulla casella più vicina al giocatore (nella pila originaria ne rimane 1)

la successiva a sinistra: insomma, il crollo avviene in senso orario.

Se la pila è formata da 4 pedine nella casella di partenza non ne rimane nemmeno una, se è maggiore di 4 pedine allora nella casella ne rimane una o più (se ci sono 8 pedine allora avviene un secondo crollo 😊).

Se rimangono una o più pile instabili tocca a Bruno farne crollare una, e così via, un giocatore dopo l'altro, fino a quando non ci sono più pile instabili. 

Se durante il crollo una delle pedine finisce fuori dalla scacchiera la pedina rientra sulla scacchiera dal lato opposto, nella casella corrispondente (vedi in fondo per una variante a questa regola).

Ora la prima manche è finita. Si contano le pedine di ciascun colore (solo quelle visibili, ovviamente, non quelle sotto altre pedine) e si annota il numero.

Inizia la seconda manche, con le stesse regole: inizia Bruno.

Alla fine della manche si contano le pedine di ciascun colore.

Seguono la terza manche (inizia Carlo) e la quarta (inizia Daniela).

Alla fine delle quattro manches si sommano i conteggi delle pedine di ciascuna manche: vince il giocatore con la somma più alta.

Variante per il rientro in gioco di una pedina che cade fuori dalla scacchiera.

La pedina rientra sulla scacchiera dal lato opposto a dove è uscita ma nella casella speculare a quella da dove è uscita.

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Per iniziare a conoscere i sandpile:

The Math of the Amazing Sandpile

Sandpiles, un video di Numberphile

Famous 'sandpile model' shown to move like a traveling sand dune

Vincere facile

Nel gioco d'azzardo il banco è favorito, lo sanno tutti. Ci sono giochi in cui sembra però che il banco e il giocatore siano alla pari, abbiano le stesse possibilità di vincere, ma non è così. Avevo già trattato un modo per vincere facile nel post Un po' a caso e un po' no.

Questo video mi ha mostrato un altro gioco interessante:

Match the Dice" Always Ends with VICTORY!

Si gioca con 5 dadi. Ci sono il banco e un giocatore.
Il giocatore decide quanti dadi dare al banco e quanti tenere per sé.
Il banco sceglie un punteggio per ciascuno dei suoi dadi, oppure li lancia e tiene quel che è uscito, evitando la ripetizione dello stesso valore: quel punteggio viene considerato una previsione sul lancio del giocatore.
Il giocatore lancia i suoi dadi: se nel suo lancio non esce nemmeno una delle previsioni del banco allora il giocatore  guadagna 1 punto, se ne esce almeno una il punto lo guadagna il banco.
Vince chi arriva prima ai 5 punti.

Il giocatore sembra addirittura favorito: è lui che sceglie quante possibilità dare al banco scegliendo quanti dadi dargli.
Proviamo la prima partita. Il giocatore vuole andare sul sicuro e dà un solo dado al banco: una brutta situazione per il banco, un solo dado contro i quattro del giocatore!

Vediamo come stanno le cose.
Il banco ha un solo valore. Per ogni dado il giocatore ha 5 possibilità su 6 di ottenere un valore diverso da quello del banco, e questo per ognuno dei 4 dadi a sua disposizione, che nel lancio ottengono valori indipendenti. La probabilità a favore del giocatore è (5/6) elevato alla quarta, cioè circa 0.4822. Ops, non è superiore al 50%, insomma il banco è leggermente favorito. Certo, non è un margine eccessivo, ma alla lunga il banco vince. In effetti è ragionevole che il banco arrivi prima ai 5 punti, visto che vengono eseguiti parecchi lanci: non c'è la sicurezza, ovviamente, non sono poi così tanti lanci, ma insomma ci si può scommettere.

Le cose peggiorano per il giocatore se decide di dare 2 dadi al banco. Per ogni dado il giocatore ha 4 possibilità su 6 che esca un valore diverso dai due del banco, e ha tre dadi: la probabilità a suo favore è (4/6) elevato alla terza, circa il 29.63%.
Dando 3 dadi al banco le sue probabilità sono del 25%, e così peggiorando.


Un secondo video ci porta in un campo diverso, quello delle distorsioni cognitive.

Il banco
_chiede al giocatore di scrivere una sequenza casuale di teste e croci, lunga 20 lanci; il giocatore deve tenere la sua sequenza nascosta al banco; nel video teste e croci sono indicate, alla anglosassone, come Head and Tail, quindi H e T
_dice che cercherà di indovinare l'uno dopo l'altro i risultati scritti dal giocatore e ci giocherà dei soldi
_dà al giocatore un mucchietto di centesimi e costituisce un suo mucchietto

La regola del gioco è semplice: il banco mette del denaro sul tavolo, la sua puntata, e predice il primo elemento non ancora svelato della sequenza immaginata dal giocatore: se indovina, il giocatore deve dargli il valore della puntata, se non riesce a indovinare il giocatore si prende la puntata del banco.

Il banco inizia con puntate basse, un centesimo alla volta. Ma a un certo punto scommette una cifra alta.

Randomness is Random - Numberphile

Questo gioco ha a che fare con la cosiddetta fallacia dello scommettitore (o the gambler's fallacy); Non capiamo le probabilità, ed è un problema . 

Ha a che fare con la nostra incapacità di capire realmente che cosa significa caso: in questo gioco, che aspetto ha una successione casuale. Vediamo che cosa succede.

La sequenza scritta dal giocatore è HHHTTHTTHHTHHTTHTHHT.
Ci sono serie consecutive di teste o croci, di H o T, ma è come se il giocatore pensasse che queste serie non possono essere troppo lunghe perchè il numero di teste deve essere all'incirca uguale al numero di croci, dopotutto ad ogni lancio la probabilità che esca testa è la stessa che esca croce: in un certo senso il numero di teste deve compensare il numero di croci.

Vediamo la sequenza mettendo in evidenza le successioni:
HHH TT H TT HH T HH TT H T HH T
All'inizio il giocatore ha messo tre H, poi al massimo si succedono solo due segni.
Il banco sa come ragionano generalmente i giocatori quindi dopo la prima sequenza HHH è abbastanza sicuro che il giocatore non continuerà la serie (che appare lunga) e punta 20 dollari su T. Vince.

Poi gioca puntando il minimo per capire se il giocatore ha pensato altre serie di 3 segni. Ma vede che le serie successive sono solo di 2 segni uguali e alla fine si ritiene abbastanza sicuro da giocare 100 dollari su T dopo una serie HH.


Noi esseri umani siamo molto bravi a riconoscere strutture o forme (anche astratte), quelle che gli anglosassoni chiamano pattern, e cerchiamo costantemente, e inconsciamente, di riconoscerle. Il nostro cervello cerca un significato in quello che ci circonda e che accade. Siamo così bravi da trovare patterns anche dove non ci sono, per esempio nelle serie di eventi casuali: gli eventi casuali sono casuali proprio perchè non hanno strutture predeterminate e non possiamo fare previsioni sul singolo evento futuro ragionando sugli eventi passati.

Questa tendenza istintiva al riconoscimento di patterns non si limita alle situazioni di gioco. Per esempio agisce anche nella visione: si chiama Pareidolia (su wikipedia inglese, la voce in italiano è più scarna).  Ci fa riconoscere animali e oggetti nelle nubi o nelle rocce, e in questo caso non fa un gran danno, ma a volte dà origine a credenze magiche o paranormali e qui qualche conseguenza negativa potrebbe esserci!

Una slot machine fatta in casa

Ecco  una delle slot machine che abbiamo costruito per un laboratorio sul gioco d'azzardo. E' di taglio molto classico e riproduce una macchina a tre rulli con 9 figure per ogni rullo tra le quali una sola figura vincente: ogni "rullo" è una fila di 8 LED rossi e 1 LED bianco centrale, il vincente.
Un pulsante START aziona la macchina che dopo circa 3 secondi di luci e suoni fa apparire la configurazione finale. 1 LED vincente paga quanto si è  puntato, 2 LED vincenti pagano 10 volte la puntata, 3 LED vincenti pagano 100 volte la puntata. Il pulsante STOP interrompe il ciclo automatico di luci e suoni e fa comparire subito la configurazione finale.
Abbiamo messo anche un pulsante chiamato RANDOM, che fa comparire la configurazione senza iniziare il ciclo di luci e suoni, ma alla fine non lo usiamo con i partecipanti.

Il funzionamento della slot machine è gestito da un Arduino Mega.

Per una maggiore comodità è stata pensata con l'alimentazione a batteria, una 9V, ma non ci è venuto in mente di misurare l'assorbimento del tutto con il risultato di scoprire, mentre le stavamo usando con le classi, che dopo un'oretta di funzionamento la batteria è già insufficiente: Francesco ha dovuto fare un intervento volante e mettere l'alimentazione a rete, ma è una soluzione poco elegante e poco comoda che dobbiamo ripensare presto.

Il laboratorio sul gioco d'azzardo rientra nel progetto MathInside, ed è realizzato in collaborazione con ricercatori del Laboratorio FDS  del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano.

Un po' a caso e un po' no

Stiamo lavorando ancora su attività riguardanti la matematica, nell'ambito di un progetto con il Dipartimento di matematica del Politecnico di Milano. In particolare stiamo adattando al contesto museale un lavoro sul gioco d'azzardo che i matematici del Politecnico hanno preparato per essere svolto a scuola.

Mentre mi documentavo sull'argomento (anche per non fare figuracce con loro che ne sanno) ho trovato un "gioco da pub" che sembra sconvolgere le idee sulla casualità dei lanci di una moneta (testa o croce?)

Predict a coin flip!  https://youtu.be/IMsa-qBlPIE

In effetti non si scommette sul singolo risultato del lancio, ma sulla comparsa di una successione di tre risultati definita in partenza. Per esempio il giocatore sceglie come sequenza vincente "testa testa croce (TTC)" e il banco sceglie CTT. Poi si comincia a lanciare ripetutamente la moneta, prendendo nota del risultato di ogni lancio: chi gioca segna 1 punto quando gli ultimi tre risultati della successione che si sta ottenendo coincidono con la sua sequenza (e stabiliamo che vince chi totalizza per primo 5 punti). Si segna 1 punto a favore e si ricomincia a lanciare la moneta. Vediamo che cosa succede, utilizzando una successione casuale di testa e croce generata dal sito random.org:
TCTCTT 1 punto per il banco
TTTC  1 punto per il giocatore
CTCTCCTT banco, 2 punti
TTTC giocatore, 2 punti
CCCCCTT banco, 3 punti
TCCTCTT  banco, 4 punti
TCTCTCCCCTT banco, 5 punti, vince!

Apparentemente il giocatore e il banco giocano ad armi pari. La probabilità che esca una qualsiasi sequenza di tre valori è 1/8, quindi la sequenza TTC è del tutto equivalente a CTT, ma per come è strutturato il gioco le cose sono un po' diverse e il banco ha un vantaggio.

Tutto si basa sul cosiddetto Gioco di Penney, dal nome del suo inventore Walter Penney "che nel 1969 scrisse un articolo di ben 10 righe sul Journal of Recreational Mathematics; come al solito venne reso noto al grande pubblico da Martin Gardner che lo trattò in un articolo del 1974 per la sua rubrica “Mathematical Games”" (da Il paradosso di Penney).

La spiegazione di quel che avviene (scritta meglio di quel che potrei fare io) si trova in Il gioco di Penney e in Il paradosso di Penney. La versione del gioco in cui non si usa una moneta ma un mazzo di carte (con il colore blu e rosso del dorso) è descritta nella voce di Wikipedia Penney's game.