Matematica in giro per il museo

Le attività dell'i.lab Matematica partono solitamente dal riferimento a una situazione quotidiana, mostrata da immagini o video (in genere presi da YouTube). A volte partono da una discussione fra i partecipanti che elencano situazioni in cui ritrovano il tema dell'attività. L'idea di fondo, non molto originale, è che la matematica sia ovunque attorno a noi. Per questo la cerchiamo anche nel museo, durante una visita guidata.

L'oggetto che ci aiuta a mettere a fuoco l'attenzione sulla matematica nascosta è la girante Pelton

Girante Pelton, centrale idroelettrica di Verampio, Val d'Ossola

E' un oggetto semplice, molto evidente, e gli studenti fanno osservazioni che possiamo ricapitolare così:

E' rotonda! Una forma molto utile se devo avere un movimento continuo su tempi lunghi.

Ha una simmetria di rotazione. Uno stesso elemento, il "cucchiaio", è ripetuto ad angoli costanti. Sono angoli scelti in modo furbo per far stare un numero intero di "cucchiai" nel cerchio della girante (c'è una quantizzazione).

La forma dei cucchiai è studiata in modo da ricavare il massimo di energia meccanica dall'acqua (cioè da trasformare la maggior quantità possibile di energia cinetica dell'acqua in energia di rotazione della girante e di conseguenza energia elettrica dal generatore).

C'è una proporzionalità diretta fra l'energia dell'acqua e l'energia elettrica che se ne può ricavare; non tutta l'energia dell'acqua si trasforma in energia elettrica.

L'acqua ha un movimento rettilineo ma la girante, appunto, gira: il movimento viene trasformato.

La girante ci dà quindi l'opportunità di mettere in evidenza
_la simmetria
_gli angoli
_il legame fra forma e funzione
_la proporzionalità
_la trasformazione del movimento.

Ora possiamo cimentarci con un oggetto decisamente più articolato: la locomotiva Gr-691.

La richiesta che l'animatore fa ai partecipanti è di trovare, in prima battuta, gli elementi matematici che avevano osservato nella girante, senza escludere la possibilità di trovarne di nuovi. La locomotiva si presta alle nostre indagini perchè è abbastanza complessa e le sue parti principali sono a vista; apparati più moderni nascondono in contenitori chiusi parti importanti per il loro funzionamento.

Alcuni elementi sono più evidenti: la simmetria, la forma circolare, la trasformazione del movimento (con il sistema biella-manovella). Altri vengono riconosciuti anche se sono più nascosti. La quantità di carbone immagazzinato nella sezione posteriore della locomotiva (quindi la dimensione stessa di questa sezione) è proporzionale alla distanza che bisogna percorrere, a quanti rifornimenti si possono fare durante il viaggio, alla velocità della locomotiva, al peso complessivo del convoglio. Trasportare più carbone significa aumentare il peso quindi aver bisogno di maggiore energia, quindi più carbone. Nella locomotiva può non essere un gran problema, ma i partecipanti ritrovano la stessa questione quando vedono all'esterno del padiglione ferroviario il lanciatore Vega e qui invece è un problema molto importante. Alla partenza, il peso di un razzo è prevalentemente dato dal combustibile, determinato dal peso dell'oggetto che si vuole mettere in orbita. Volendo sollevare un carico maggiore c'è bisogno di una potenza maggiore, quindi molto più combustibile, ma questo significa maggior peso che i motori devono sollevare e questo richiede molto più combustibile ... Insomma, ci sono vincoli molto stretti sul carico massimo che un razzo potrà mai portare in orbita.

C'è la possibilità di trovare matematica anche in altri punti del padiglione Ferroviario, per esempio quando guardiamo le rotaie

lo sappiamo che sono parallele fra loro, come mai le vediamo convergere?

E non trascuriamo dispositivi che potremmo considerare poco interessanti, per esempio questo apparato per azionare segnali aerei

che assomiglia molto a una spirale logaritmica: permette all'addetto di esercitare sempre la stessa forza indipendentemente dalla posizione del segnale stesso.

Che noia le dimostrazioni

Spesso gli studenti che hanno appena finito una attività nel nostro laboratorio di matematica mi dicono di essere contenti di non aver dovuto affrontare formule o dimostrazioni. Quando c'è tempo di chiacchierare un po', mi dicono che hanno capito quello su cui hanno lavorato in laboratorio perchè era evidente, che bisogno ci sarà mai di dimostrarlo come invece capita in classe e sui libri.
La loro è una osservazione interessante e non è convincente rispondere in modo astratto con le motivazioni solite a favore delle dimostrazioni. Una volta, con un gruppo particolarmente interessante di studenti di un liceo artistico, ho mostrato, recuperandole sul momento, un paio di situazioni che ci hanno aiutato a discutere meglio. Riguardano la congettura di Collatz e la formica di Langton (le avevo appena incontrate io stesso, per questo mi è risultato facile metterle in relazione).

La congettura di Collatz fa una affermazione sul comportamento di una particolare successione numerica costruita secondo un algoritmo molto semplice. Si parte da un numero intero qualsiasi che fa da inizio della sequenza. Si ottiene il numero successivo della sequenza facendo una operazione sul primo numero: se è pari lo si divide per due, se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1 (così diventa pari); per ottenere il terzo numero si fa la stessa cosa sul secondo numero, e così via per tutti gli altri.  Per esempio, partiamo da 7. La successione è: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,  e si ripete continuamente il ciclo 4, 2, 1.
Come si vede, la successione non ha sempre lo stesso andamento, cioè non diminuisce sempre o aumenta sempre ma saltella fra i numeri. Lothar Collatz, all'inizio degli anni 1930, ha avanzato l'ipotesi che a partire da qualunque numero intero la successione dopo aver saltellato fra numeri più grandi e più piccoli arrivi sempre al ciclo infinito 4, 2, 1, senza però darne una dimostrazione formale: per questo si chiama congettura.

Naturalmente, da quando sono stati disponibili i computer sono state calcolate sequenze partendo da un enorme numero di numeri naturali, anche molto grandi, trovando che si arriva sempre al ciclo 4, 2, 1 (è facile anche per noi, basta utilizzare un foglio di calcolo, certo senza arrivare a numeri grandissimi, oppure un calcolatore online tipo questo https://www.dcode.fr/collatz-conjecture o questo https://www.nitrxgen.net/collatz/27/ ). Collatz, che non aveva computer perchè ancora non esistevano, aveva ragionato in modo più raffinato, in questo video ce ne possiamo fare una idea:

UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture  

Passiamo ora alla formica di Langton. La formica vive su una scacchiera con caselle quadrate, una scacchiera enorme. Ogni casella può avere solo due colori, p.es. bianco o rosso, e cambia colore quando la formica ci va sopra. La formica si sposta di una casella alla volta: se si trova su una casella bianca allora la casella diventa rossa e la formica gira e si sposta nella casella a sinistra, se si trova su una casella rossa allora la casella diventa bianca e la formica gira e si sposta nella casella a destra (naturalmente potremmo scegliere altri due colori o invertire la regola, non cambia nulla). Vediamo quel che succede nel video Langton's Ant 

Se ci fossimo limitati al primo migliaio di passi avremmo concluso che si vede bene che la formica si muove casualmente e riempie pian piano la scacchiera. E avremmo confermato la conclusione se ci fossimo fermati dopo 8000 passi: insomma, 8000 passi sono tanti, che senso ha continuare? E così ci saremmo persi il salto verso l'autoorganizzazione attorno al passo 10 000.

Certo 10000 passi non sono molti per un computer, ma la formica di Langton ci mostra che il solo accumulo di risultati non è sufficiente a trarre conclusioni generali. Ed è per questo che la congettura di Collatz rimane una congettura, anche se mooolto plausibile, finchè sarà dimostrato che la successione costruita con quella regola termina necessariamente con il ciclo infinito 4, 2, 1.

Noterella 1
Recentemente è stato fatto qualche passo avanti: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem

Noterella 2
Nemmeno vedere che due fenomeni hanno lo stesso andamento ci autorizza ad affermare che sono legati fra loro, o che addirittura uno provoca l'altro. E' quel che ci dicono sempre studiando statistica e Spourious correlation  ce ne fornisce esempi decisamente divertenti: assolutamente da vedere!


Altri riferimenti
The Collatz Conjecture in Colour
Collatz conjecture da wikipedia inglese
Congettura di Collatz da wikipedia italiana
The on-line encyclopedia of integer sequences