Che noia le dimostrazioni

Spesso gli studenti che hanno appena finito una attività nel nostro laboratorio di matematica mi dicono di essere contenti di non aver dovuto affrontare formule o dimostrazioni. Quando c'è tempo di chiacchierare un po', mi dicono che hanno capito quello su cui hanno lavorato in laboratorio perchè era evidente, che bisogno ci sarà mai di dimostrarlo come invece capita in classe e sui libri.
La loro è una osservazione interessante e non è convincente rispondere in modo astratto con le motivazioni solite a favore delle dimostrazioni. Una volta, con un gruppo particolarmente interessante di studenti di un liceo artistico, ho mostrato, recuperandole sul momento, un paio di situazioni che ci hanno aiutato a discutere meglio. Riguardano la congettura di Collatz e la formica di Langton (le avevo appena incontrate io stesso, per questo mi è risultato facile metterle in relazione).

La congettura di Collatz fa una affermazione sul comportamento di una particolare successione numerica costruita secondo un algoritmo molto semplice. Si parte da un numero intero qualsiasi che fa da inizio della sequenza. Si ottiene il numero successivo della sequenza facendo una operazione sul primo numero: se è pari lo si divide per due, se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1 (così diventa pari); per ottenere il terzo numero si fa la stessa cosa sul secondo numero, e così via per tutti gli altri.  Per esempio, partiamo da 7. La successione è: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,  e si ripete continuamente il ciclo 4, 2, 1.
Come si vede, la successione non ha sempre lo stesso andamento, cioè non diminuisce sempre o aumenta sempre ma saltella fra i numeri. Lothar Collatz, all'inizio degli anni 1930, ha avanzato l'ipotesi che a partire da qualunque numero intero la successione dopo aver saltellato fra numeri più grandi e più piccoli arrivi sempre al ciclo infinito 4, 2, 1, senza però darne una dimostrazione formale: per questo si chiama congettura.

Naturalmente, da quando sono stati disponibili i computer sono state calcolate sequenze partendo da un enorme numero di numeri naturali, anche molto grandi, trovando che si arriva sempre al ciclo 4, 2, 1 (è facile anche per noi, basta utilizzare un foglio di calcolo, certo senza arrivare a numeri grandissimi, oppure un calcolatore online tipo questo https://www.dcode.fr/collatz-conjecture o questo https://www.nitrxgen.net/collatz/27/ ). Collatz, che non aveva computer perchè ancora non esistevano, aveva ragionato in modo più raffinato, in questo video ce ne possiamo fare una idea:

UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture  

Passiamo ora alla formica di Langton. La formica vive su una scacchiera con caselle quadrate, una scacchiera enorme. Ogni casella può avere solo due colori, p.es. bianco o rosso, e cambia colore quando la formica ci va sopra. La formica si sposta di una casella alla volta: se si trova su una casella bianca allora la casella diventa rossa e la formica gira e si sposta nella casella a sinistra, se si trova su una casella rossa allora la casella diventa bianca e la formica gira e si sposta nella casella a destra (naturalmente potremmo scegliere altri due colori o invertire la regola, non cambia nulla). Vediamo quel che succede nel video Langton's Ant 

Se ci fossimo limitati al primo migliaio di passi avremmo concluso che si vede bene che la formica si muove casualmente e riempie pian piano la scacchiera. E avremmo confermato la conclusione se ci fossimo fermati dopo 8000 passi: insomma, 8000 passi sono tanti, che senso ha continuare? E così ci saremmo persi il salto verso l'autoorganizzazione attorno al passo 10 000.

Certo 10000 passi non sono molti per un computer, ma la formica di Langton ci mostra che il solo accumulo di risultati non è sufficiente a trarre conclusioni generali. Ed è per questo che la congettura di Collatz rimane una congettura, anche se mooolto plausibile, finchè sarà dimostrato che la successione costruita con quella regola termina necessariamente con il ciclo infinito 4, 2, 1.

Noterella 1
Recentemente è stato fatto qualche passo avanti: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem

Noterella 2
Nemmeno vedere che due fenomeni hanno lo stesso andamento ci autorizza ad affermare che sono legati fra loro, o che addirittura uno provoca l'altro. E' quel che ci dicono sempre studiando statistica e Spourious correlation  ce ne fornisce esempi decisamente divertenti: assolutamente da vedere!


Altri riferimenti
The Collatz Conjecture in Colour
Collatz conjecture da wikipedia inglese
Congettura di Collatz da wikipedia italiana
The on-line encyclopedia of integer sequences